Одномерная оптимизация

1) Решить задачу оптимизации с точностью E=10^(-4).

2) Построить график функции

3) Проверить выполнение аналитического условия унимодальности функции на заданном отрезке

4) Выбрать начальный отрезок неопределенности

5) Составить программу решения задачи оптимизации

6) Вычислить количество итераций, необходимых, чтобы локализовать точку минимума с точностью E=10^(-2)/

7) Результат записать в таблицу

Функция	t	p
-5xsin(1+x)+2cos(x)

Решение:

График функции:

Начальный отрезок неопределенности (отрезок, содержащий точку минимума) выберем по построенному графику - отрезок [0,5;1,5] - начальный отрезок неопределенности.

Результат проверки выполнения аналитического условия унимодальности функции на выбранном отрезке:

>

x	0,5	0,75		1,25	1,5
F(x)	-0,73857234	-2,22657	-3,4658825	-4,23231	-4,347066677
	-6,12316901	-5,61478	-4,1486949	-1,86225	1,021226423
	0,031200326	4,00903	7,62735089	10,51405	12,35850283

Первая производная монотонно возрастает на отрезке [0.5;1.5], вторая производная >0 на отрезке[0,5;1,5], значит условие унимодальности выполнено на этом отрезке.

Решение задачи методом золотого сечения:

N+1	a	b	x1	x2	f(x1)	f(x2)	b-a
	0,5	1,5	0,88196601	1,118034	-2,926783537	-3,89890765
	0,881966011	1,5	1,11803399	1,263932	-3,89890765	-4,257232951	0,618034
	1,118033989	1,5	1,26393202	1,354102	-4,257232951	-4,367475885	0,381966
	1,263932023	1,5	1,35410197	1,40983	-4,367475885	-4,3895715	0,236068
	1,354101966	1,5	1,40983006	1,444272	-4,3895715	-4,384938577	0,145898
	1,354101966	1,444272	1,38854382	1,40983	-4,385401757	-4,3895715	0,09017
	1,38854382	1,444272	1,40983006	1,422986	-4,3895715	-4,389472807	0,055728
	1,38854382	1,422986	1,40169944	1,40983	-4,388607863	-4,3895715	0,034442
	1,401699437	1,422986	1,40983006	1,414855	-4,3895715	-4,389776286	0,021286
	1,409830056	1,422986	1,41485505	1,417961	-4,389776286	-4,389753128	0,013156
	1,409830056	1,417961	1,41293568	1,414855	-4,389733376	-4,389776286	0,008131
	1,412935676	1,417961	1,41485505	1,416041	-4,389776286	-4,389780956	0,005025
	1,414855055	1,417961	1,4160413	1,416774	-4,389780956	-4,389775491	0,003106
	1,414855055	1,416774	1,41558819	1,416041	-4,389781143	-4,389780956	0,001919
	1,414855055	1,416041	1,41530816	1,415588	-4,389780041	-4,389781143	0,001186
	1,415308159	1,416041	1,41558819	1,415761	-4,389781143	-4,38978136	0,000733
	1,415588192	1,416041	1,41576126	1,415868	-4,38978136	-4,389781315	0,000453
	1,415588192	1,415868	1,41569516	1,415761	-4,389781319	-4,38978136	0,00028
	1,415695156	1,415868	1,41576126	1,415802	-4,38978136	-4,389781359	0,000173
	1,415695156	1,415802	1,41573601	1,415761	-4,38978135	-4,38978136	0,000107
	1,415736012	1,415802	1,41576126	1,415777	-4,38978136	-4,389781362	6,61E-05

Для метода золотого сечения теоретическая длина отрезка неопределенности после 20 итераций равна:

Для метода золотого сечения теоретическая длина отрезка неопределенности после 3 итераций равна:

Решим задачу методом дихотомии:

D=0, 00002

N+1	a	b	x1	x2	f(x1)	f(x2)	b-a
	0,5	1,5	0,99999	1,00001	-3,46584	-3,46592
	0,99999	1,5	1,249985	1,250005	-4,23228	-4,23232	0,50001
	1,249985	1,5	1,3749825	1,375003	-4,37998	-4,37999	0,250015
	1,374983	1,5	1,4374813	1,437501	-4,38698	-4,38697	0,125018
	1,374983	1,437501	1,4062319	1,406252	-4,38924	-4,38924	0,062519
	1,406232	1,437501	1,4218566	1,421877	-4,38956	-4,38956	0,031269
	1,406232	1,421877	1,4140442	1,414064	-4,38976	-4,38976	0,015645
	1,414044	1,421877	1,4179504	1,41797	-4,38975	-4,38975	0,007832
	1,414044	1,41797	1,4159973	1,416017	-4,38978	-4,38978	0,003926
	1,414044	1,416017	1,4150208	1,415041	-4,38978	-4,38978	0,001973
	1,415021	1,416017	1,415509	1,415529	-4,38978	-4,38978	0,000997
	1,415509	1,416017	1,4157532	1,415773	-4,38978	-4,38978	0,000508
	1,415753	1,416017	1,4158752	1,415895	-4,38978	-4,38978	0,000264
	1,415753	1,415895	1,4158142	1,415834	-4,38978	-4,38978	0,000142
	1,415753	1,415834	1,4157837	1,415804	-4,38978	-4,38978	8,1E-05

Для метода дихотомии длина отрезка неопределенности после 14 итераций равна:

Для метода дихотомии длина отрезка неопределенности после 3 итераций равна:

Число итераций, необходимых для локализации точки минимума и Е=10-2

Теоретическая величина погрешности для метода дихотомии определяется длиной конечного отрезка неопределенности после N итераций: . Отсюда, принимая во внимание, что , можно определить соответствующее число итераций: ,

>

Если точность Е= 0.01, а параметр метода d= =0.00002, то получим:

Точность достигнута при N=8. То есть, расчет примерно совпадает с теоретической оценкой.

Проверка в математическом пакете Maple:

>

Дата добавления: 2015-07-15