Вычисление норм невырожденных матриц

Рассмотрим для простоты преобразование двумерного пространства в двумерное пространство оператором , причём матрица линейного оператора невырожденна и имеет вид .

1.Рассмотримпреобразование , где точки , а точки . Тогда , а . Обозначим . Тогда . Запишем это как скалярное произведение и воспользуемся неравенством Буняковского Коши.

. Тогда

, то есть а норма называется эвклидовой.

2. Рассмотримпреобразование .

. Такая норма называется столбиковой.

3. Рассмотримпреобразование .

Тогда

Такая норма называется строчной.

Таким образом, нормы матриц согласованы (аффелированы) с нормами векторов в соответствующих пространствах. С конечномерным эвклидовым пространством аффелирована ещё одна норма, которая называется спектральной.

Определение 1. Будем считать, что непрерывный линейный оператор определен в (вообще говоря, бесконечномерном) комплексном гильбертовом пространстве. Наряду с уравнением рассмотрим уравнение . При этом возможны только следующие ситуации:

- оператор не обратим, то есть оператор не существует. Тогда в пространстве H существует ненулевой вектор такой что . В таком случае число называют характеристическим значением оператора A, а вектор - собственным вектором оператора A, отвечающим собственному значению . Совокупность всех собственных значений оператора A называют точечным спектром оператора A. В конечномерном пространстве спектр оператора может быть только точечным, потому что если матрица оператора обратима, то обратная к ней матрица задает оператор сразу во всем пространстве.

-оператор обратим. Тогда оператор , определенный во всем пространстве H, называется резольвентой оператора A и обозначается , а комплексное число называется регулярным значением оператора A.

- оператор обратим, но обратный оператор определен не во всем H, а лишь на некотором плотном в H подпространстве; Совокупность тех , для которых это имеет место, называют непрерывным спектром оператора A.

- оператор обратим, причем область определения оператора не плотна в H. Совокупность тех , для которых это имеет место, называют остаточным спектром оператора A.

Совокупность всех комплексных чисел , не являющихся регулярными значениями оператора A, называется спектром оператора A.

Комментарий. Ясно, что если ,то задача с уравнением некорректна: она либо имеет неединственное решение, либо разрешимо не для всякой правой части, либо нет непрерывной зависимости от правой части.

Пример 2. Пусть оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное, тогда

,

Видно, что оператор, заданный этой матрицей не существует при =1, то есть это характеристическое значение оператора А.

Пример 3. Рассмотрим линейный оператор умножения на функцию g(x). Онотображает пространство на себя, то есть .Уравнение , то есть принимает в этом случае вид: Тогда резольвента этого оператора запишется в следующем виде: . Такой оператор непрерывен, если функция g(x) не принимает значение на отрезке [ a,b ], в противном случае будет являться собственным значением. То есть спектр этого оператора состоит из значений функции g(x) на отрезке [ a,b ]. Причём этот оператор имеет лишь непрерывный спектр, так как резольвента при существует, но не непрерывна. Точечного спектра оператор не имеет.

Пример 4. Рассмотрим в пространстве оператор умножения на независимую переменную t:

Уравнение Аx= x принимает в этом случае вид: tx(t) - x(t) = y(t), решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая.

Если лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx= x имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение: x(t) = y(t), откуда следует, что все такие значения параметра являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на : R (y) = y(t).

Все значения параметра, принадлежащие отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть ₀ [0, 1]. Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке ₀, y( ₀) = a 0. Для такой функции равенство (t - ₀)x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t = ₀ левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при = ₀ уравнение Аx= x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность ₀ спектру оператора A. Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения (t - )x(t) = 0, [0, 1], при любом t, отличном от , а следовательно, в силу непрерывности и при t = , обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.

Пример 5. Рассмотрим оператор дифференцирования на множестве дифференцируемых функций: Рассмотрим резольвенту этого оператора: , то есть мы должны найти обратный оператор к оператору: , для чего надо решить дифференциальное уравнение относительно .

; ; ; ;

, откуда

тогда . Видно, что резольвента существует и непрерывна, когда существует и непрерывен интеграл.

Теорема 1. Норма оператора А пространстве .

Норма оператора , где . Тогда эвклидова норма в пространстве . Теперь задача свелась к нахождению максимума функции при условии . Будем искать точку безусловного максимума функции Лагранжа В точке безусловного максимума дифференциал функции равен нулю. Для функций и дифференциал можно получить прямо по его определению, как главную линейную часть приращения функции (в главе VII будет развита другая техника):

Метод Лагранжа дает для любых систему уравнений Или Это означает, что собственный вектор матрицы , имеющий единичную длину; собственное число матрицы . Другими словами, максимум функции на единичной сфере достигается на одном из собственных векторов матрицы ,и он равен корню из собственного числа этой матрицы. Поэтому, для отыскания спектральной нормы матрицы , аффелированной с эвклидовой нормой в пространстве , следуетнайти все собственные числа матрицы , и корень из наибольшего из них является искомой нормой. Для действительных матриц . То есть норма оператора .

Комментарий. Для любой вещественной матрицы собственные числа матрицы неотрицательны, так как . Каждая вещественная квадратичная форма приводится к сумме квадратов, коэффициентами которых являются собственные числа симметричной части матрицы. Поэтому для неотрицательной квадратичной формы с симметричной матрицей собственные числа последней отрицательными быть не могут.

Определение.Сингулярными числами матрицы называются действительные неотрицательные числа , обычно расположенные в порядке невозрастания.

Если матрица вырожденна и имеет ранг , то а если матрица невырожденна, то

Теорема 2. Пусть самосопряжённый оператор задан в пространстве . Тогда .

Разложим по базису собственных векторов . Тогда и, по определению нормы, .

С другой стороны, заменив вектор на вектор , мы только уменьшим его, то есть = . То есть спектральная норма.

Комментарий. Если самосопряжённый оператор, то матрица вещественна и симметрична. Самосопряжённый вполне непрерывный оператор А имеет хотя бы одно собственное значение, причём в Н можно выбрать полную ортогональную систему элементов, состоящую из собственных функций оператора А. Тогда, по теореме о приведении квадратичной формы каноническому виду, в ортонормированном базисе из собственных векторов симметричная матрица имеет диагональный вид, причем на диагонали стоят ее собственные числа. То есть норма симметричной вещественной матрицы равна максимуму из модулей её собственных чисел.

Теорема 3. Собственные значения матрицы обратны собственным значениям матрицы , а собственные векторы этих матриц совпадают.

Равенство умножим слева на : . Это заодно показывает, что собственные векторы совпадают.

Теперь самосопряжённого оператора можно вычислить из теоремы 2, так как и сразу .

Комментарий. Можно показать, что:

- справедливо равенство ;

-собственные значения квадратной матрицы A, вообще говоря, комплексны, но если A симметрична, то все её собственные значения действительны;

- если A симметрична и положительна, то все собственные значения действительны и неотрицательны;

- все сингулярные числа µ любой матрицы действительны, неотрицательны и при этом во всех случаях могут иметь кратность, доходящую до .

Если – квадратная невырожденная матрица, то для нахождения вместо собственных значений используются сингулярные числа µ:

Пример 6. Рассмотрим систему 1. Найти эвклидову, столбиковую, строчную и спектральную нормы.

2. Во всех случаях найти . Матрица оператора , тогда

. Эвклидова норма: =7.

Строчная норма:

=9.

Столбиковая норма:

=9.

Спектральная норма: , тогда .

Дата добавления: 2015-07-15