Плохая обусловленность и некорректность

Исследуем зависимость числа обусловленности от соотношения коэффициентов матрицы. Если умножить второе уравнение СЛАУ в предыдущем примере на , то её решение от этого не изменится, но станет функцией от . Так как , то , ,

Число обусловленности

Число обусловленности изменяется при умножении на k, хотя умножение строки системы на число задачу не меняет. , то есть

. Таким образом

В случае спектральной нормы

, то есть =

= . График зависимости от параметра имеет вид:

Комментарий. Качественно характер графика очевиден. При или при строчка или столбец матрицы стремятся к нулю, то есть матрица “стремится” к вырожденной, у которой число Тьюринга бесконечно. Следовательно, существует такое значение , при котором условия ( cond itions) для решения СЛАУ “наиболее благоприятны”.

Число обусловленности характеризует априорную оценку сверху, то есть наихудшую оценку возможных ошибок решения СЛАУ. Сделаем апостериорную оценку. Пусть при решении СЛАУ получено решение . Тогда вектор невязки будет иметь вид . Так как , откуда , а , и , ясно, что . Видно, что апостериорная оценка точности решения не лучше. Показано, что и вероятностные оценки точности решения близки к априорным. Таким образом, число обусловленности даёт реальную оценку сверху возможных ошибок решения.Можно показать, что нормализация СЛАУ, то есть переход от заданной СЛАУ к равносильной системе уравнений не улучшает обусловленность матрицы . Кроме того, имеет место следующий факт. Пусть матрица диагонализируема, то есть , матрица трансформер. Тогда для любого собственного значения возмущённой матрицы найдётся собственное значение матрицы , такое, что .

Таким образом, число обусловленности характеризует наихудшую оценку влияния возмущения матрицы на её спектр.

Пример 7. Проиллюстрируем некорректность и плохую обусловленность на примере СЛАУ Этот пример предложил А.Н.Тихонов. Рассмотрим вырожденную СЛАУ: Её решение То есть, эта СЛАУ некорректна в смысловом поле конкретной задачи. А.Н. Тихонов рассматривает систему, первое уравнение которой имеет вид , а второе получается из первого умножением его на : Далее вычисляется с точностью до: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . В результате получается:

и так далее. В этих случаях получаются следующие значения для :

При точности в 100, 300 и 500 десятичных знаков компьютер выдаёт следующие результаты: .

Если вычисления производятся с конечной точностью, то отличить вырожденные и плохо обусловленные системы невозможно. Поэтому говорят о практической некорректности СЛАУ и применяют одинаковые методы борьбы с ней.

Комментарий. Если , то говорят, что СЛАУ хорошо обусловлена, если нет – плохо. Плохая обусловленность приводит к большим, но конечным изменениям в решении. Она появляется не за счёт малости по сравнению с единицей определителя А и не оттого, что знаменатель мал или обратная матрица близка к 0, а за счёт появления в обратной матрице больших членов. Появляется класс “почти вырожденных операторов ”. Можно привести пример, где определитель матрицы будет не мал по сравнению с коэффициентами. Рассмотрим диагональную матрицу которой все диагональные элементы равны 10 и диагональную матрицу , у которой все диагональные элементы равны 10, кроме последнего, равного . Тогда , а , , . Ошибка в 10^-18 резко меняет поведение системы. (Точность в физике до , в астрономии до , в технике до , в психологии 10%).

Плохая обусловленность может быть как самостоятельным фактором, так и сопровождать некорректность. Ещё раз подчеркнём, что сама по себе СЛАУ не является некорректной. Некорректной она может стать только в смысловом поле конкретной задачи.

К.Р.

1. В пространстве найти расстояние между элементами

2. Дана матрица линейного оператора ; 1. При r=1

а) Найти cond A, если А действует в пространстве , , .

б) Найти condA, аффилированное со спектральной нормой оператора А.

в) Найти спектр и резольвенту оператора А.

2. Найти зависимость cond A от r в пространстве , , .

3. Линейный функционал в , , в точках (1,1) и (1,0) равен 2 и 5 соответственно. Найти его значение в точке (3,4) и норму.

4. Интегральное уравнение.

Дата добавления: 2015-07-15