Читайте также:
|
|
IV. ИНСТРУМЕНТЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОШИБОК
Не ошибается только Господь.
Именно это и настораживает.
Алекс Алдер
Обусловленность СЛАУ. Число обусловленности матрицы
Для корректной постановки задачи требуется существование и
единственность решения, а также непрерывная зависимость решения от входных данных. Рассмотрим обратную задачу для СЛАУ. Если
, то решение задачи существует и единственно. Входными данными в этом случае являются коэффициенты матрицы линейного оператора
и правая часть. Пусть и матрица, и правая часть невырожденной системы
заданы с некоторой погрешностью. Наряду с системой
рассмотрим СЛАУ
.
Определение. Обратная задача для СЛАУ устойчива по правой части, если для любых
справедлива оценка
, где
- постоянная, независящая от правой части.
Эта оценка выражает факт непрерывной зависимости решения от правой части, т.е. показывает, что при
.
Получимоценку относительной погрешности решения .
Ясно, что
. Тогда, использовав неравенство треугольника, получаем
или
. Обозначим
. Тогда
.
Заметим, что так как
. Тогда для оценки относительной погрешности решения окончательно получим
. Обозначим
относительную ошибку измерения,
относительную ошибку задания оператора. Величина
называется числом обусловленности Тьюринга матрицы
(коэффициентом усиления ошибки). Тогда
. При
получаем оценку при наличии погрешности только правых частей
.
(2.8)
Комментарий. В результате получено соотношение, показывающее, на сколько возрастают относительные ошибки решения СЛАУ в случае наличия относительных ошибок при задании правых частей и элементов матриц. Это неулучшаемая оценка для относительной ошибки решения, которая, конечно, может быть существенно завышенной. Ясно, что , то есть для любой матричной нормы число обусловленности не меньше единицы. Большие значения числа обусловленности отвечают матрицам, плохо обращаемым численными методами.Для нормированных матриц (то есть матриц, у которых
) это означает наличие в обратной матрице больших элементов, и, следовательно, малые изменения правой части могут привести к относительно большим (хотя и конечным) изменениям в решении. Поэтому системы с плохо обусловленными матрицами практически неустойчивы, хотя задача корректна и выполнено условие устойчивости
. Если
, то говорят, что СЛАУ хорошо обусловлена, то есть ошибки входных данных слабо влияют на решение. Если
,то СЛАУ обусловлена плохо, что приводит к большим, но конечным изменениям в решении. Плохая обусловленность не следствие малости по сравнению с единицей определителя А и не оттого, что знаменатель мал или обратная матрица близка к 0, а за счёт появления в обратной матрице больших членов. Появляется класс “почти вырожденных операторов ”. Можно привести пример, где определитель матрицы будет не мал по сравнению с коэффициентами. Рассмотрим диагональную матрицу
у которой все диагональные элементы равны 10 и диагональную матрицу
, у которой все диагональные элементы равны 10, кроме последнего, равного
. Тогда
, а
,
,
. Ошибка в 10-18 резко меняет поведение системы (точность в физике до
, в астрономии до
, в технике до
, в психологии от10%).
Пример 1. Рассмотрим СЛАУ Её решение
. Однако решение СЛАУ
уже
, то есть погрешность решения существенно больше, погрешности определения коэффициента. Для матрицы
обратная матрица имеет вид
. Тогда число обусловленности
, вычисленное, например, по с трочной норме, оказывается равным более
.
Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 115 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Издержки и прибыль фирмы | | | Вычисление норм невырожденных матриц |