Идентификация линейной системы автоматического управления.

В настоящее время существует большое количество методов идентификации, которые могут быть разделены на два класса — параметрические и непараметрические. Очевидно, что в силу специфики решаемых задач разрабатываемый ЭР должен обладать возможностью рекуррентного оценивания параметров системы. Поэтому при формировании БЗ ЭР интерес представляют только параметрические методы идентификации.

Наибольшее распространение при идентификации систем получили методы ошибки предсказания (метод Гаусса—Ньютона, градиентный метод и др.), метод наименьших квадратов (МНК) и метод инструментальных переменных. Рассмотрим эти методы и метод модулирующих функций (ММФ) [1] с точки зрения возможности формирования знаний для Б3 ЭР.

При идентификации методом ошибки предсказания [6] оценка параметров модели определяется выражением

, (3)

где норма и вектор параметров есть

,

,

L — скалярнозначная функция (обычно положительная),

— ошибка предсказания между выходным сигналом и прогнозом значения выходного сигнала на основе модели в момент времени t,

— вектор параметров модели,

— оценка вектора параметров ОУ за N итераций,

a _i, b _i. — коэффициенты полиномов А (q), B (q) передаточной функции модели системы, а n _a, n _b — соответственно их порядки,

знак Т означает операцию транспонирования,

q — оператор сдвига назад [6].

Здесь arg min означает «аргумент, минимизирующий функцию». Если минимум не единственный, arg min означает множество минимизирующих аргументов.

Методу наименьших квадратов соответствует выбор в виде

.

Квадратичность функции по позволяет найти минимум (3) в аналитической форме [5]:

(5)

где — регрессионный вектор, зависящий от входного и выходного сигналов u (t) и y (t) соответственно.

Теоретически ошибку предсказания целесообразно формировать в виде, не зависящем от прошлых данных. При этом параметры модели лучше всего определять методом инструментальных переменных

, (6)

где (дзета) — инструменты.

Очевидно, что качество оценки (6) зависит от выбора .Наилучший выбор должен определяться динамическими свойствами системы, т. е. зависеть от . Это достигается следующим образом: первоначально оцениваются полиномы А (q), B (q)передаточной функции объекта управления с помощью МНК, а затем определяются инструментальные переменные исходя из выражений

Достоинства метода инструментальных переменных — это простота реализации алгоритмов, возможность быстрого получения начальных оценок передаточной функции, возможность уточнения первоначальной оценки методом ошибки предсказания.

На основе отмеченных особенностей рассмотренных выше методов идентификации можно сформулировать ключевые правила базы знаний экспертного регулятора.

П р а в и л о 1. ЕСЛИ <идентифицируется ОУ> И <ошибка предсказания зависит от прошлых данных>, ТО <использовать метод инструментальных переменных> ИНАЧЕ <использовать метод наименьших квадратов>.

П р а в и л о 2. ЕСЛИ <идентифицируется ОУ> И <выбран метод инструментальных переменных>, ТО <инструменты вычислить на основе оценки параметров модели МНК> И <определить параметры ОУ методом инструментальных переменных>.

П р а в и л о З. ЕСЛИ <точность идентификации ОУ недостаточна>, ТО <использовать метод ошибки предсказания или другие методы из БА ЭР) ИНАЧЕ <процедуру идентификации закончить> И <перейти к процедуре преобразования от дискретного времени в непрерывное>.

Для успешного решения задачи идентификации рассмотренными методами необходимо соблюдать важное требование: интервал дискретизации данных должен обеспечивать минимизацию потерь информации при переходе от дискретного времени к непрерывному. В работе [12] изучены свойства чувствительности преобразования динамической системы от дискретного времени к непрерывному и показано, что принимаемое обычно предположение о повышении точности оценки модели с увеличением частоты выборки в общем случае неверно. Использование высокой частоты выборки может привести к большим погрешностям оценок постоянных времени или собственных частот и коэффициентов демпфирования вследствие малых погрешностей оценок параметров системы с дискретным временем.

Для ограничения погрешности преобразования заранее заданным расчетным уровнем можно ввести следующие неравенства:

для случая действительного полюса, где обозначает чувствительность постоянной времени относительно полюса дискретной системы , и

для случая комплексно сопряженных полюсов дискретной системы, где — заранее заданный уровень погрешности преобразования. В первом случае можно легко получить следующее неравенство, которое задает нижнюю границу для допустимых величин периода выборки:

, (7)

где Т — период дискретизации. Неравенство (7)можно трансформировать в другое неравенство — эквивалентную верхнюю границу для допустимых значений полюса дискретной системы

. (8)

В реальном эксперименте по идентификации эту последнюю границу удобно использовать для проверки того, повышена ли чувствительность преобразования. Если да, то для повышения точности требуется оценка по данным, получаемым с меньшей частотой выборки.

Матрицу чувствительности S для случая комплексно сопряженных полюсов дискретной системы можно выразить в следующем виде:

, (9)

где r, — соответственно модульи аргумент полюса дискретной системы,

— собственная частота,

— коэффициент демпфирования,

Т — интервал дискретизации.

Необходимое условие выполнения неравенства и условия разрешимости проблемы многозначности для заданного имеет вид

,(10)

где и соответствующее значение вычисляются по методикам, приведенным в работе [12].

После получения оценок полюсов в дискретном времени необходимо их проанализировать с помощью неравенства (10). Если оно не выполняется, то следует взять выборку данных с меньшей частотой и повторить процесс получения новых оценок полюсов.

Таким образом, знания, необходимые для проверки чувствительности преобразования, также можно сформулировать в виде правил.

П р а в и л о 4. ЕСЛИ <осуществляется процедура преобразования от дискретного времени к непрерывному> И <преобразуется действительный полюс> И <нарушается условие (8)>, ТО <период дискретизации данных увеличить>.

П р а в и л о 5.ЕСЛИ (осуществляется процедура преобразования от дискретного времени к непрерывному> И (преобразуется комплексно сопряженный полюс) И (нарушается условие (10)>, то (период дискретизации данных увеличить).

В то же время условия ограничения чувствительности преобразования на прямой Т имеют вид

.(11)

Верхняя граница определяется из условия разрешимости проблемы многозначности. А нижняя граница определяется из условия минимизации погрешностей определения параметров системы с непрерывным временем, обусловленных малыми погрешностями оценок параметров модели с дискретным временем.

Кроме того, на основе формул (7) — (11) после несложных преобразований можно получить величину периода выборки, при котором минимизируется норма матрицы чувствительности:

где

.

Таким образом, из приведенного анализа по преобразованию модели системы от дискретного времени к непрерывному следует, что, с одной стороны, может возникнуть проблема многозначности, если используется слишком большой период дискретизации, а с другой стороны — может повыситься чувствительность данного преобразования. Можно предложить следующее правило по выбору оптимального (в смысле минимизации нормы матрицы чувствительности) периода дискретизации данных при идентификационных экспериментах.

П р а в и л о 6. ЕСЛИ <осуществляется процедура преобразования от дискретного времени к непрерывному> И <точность данного преобразования неудовлетворительна>, ТО <период дискретизации данных выбирать исходя из неравенства (7) в случае простых полюсов и выражения (12) в случае комплексно сопряженных полюсов> ИЛИ <использовать другие знания из БЗ ЭР по выбору частоты выборки>.

Практика работы с методами идентификации параметров объекта управления показывает, что сформулированные выше правила используются практически всегда при осуществлении процедуры идентификации.

В отличие от рассмотренных выше метода ошибки предсказания и метода инструментальных переменных, в методе модулирующих функций для определения постоянных времени и коэффициентов демпфирования не требуется преобразование модели системы от дискретного времени к непрерывному. ММФ основан на вычислении площадей подкривыми, образуемыми перемножением переходной функции системы на специально формируемые функции [1]. Эти функции представляют собой экспоненты с отрицательными степенями. Основное требование, предъявляемое к ним, заключается в том, чтобы к моменту окончания наблюдения переходного процесса они затухали до уровня 0,1 — 5 %.

После вычисления площадей под кривыми записывается система линейных уравнений относительно неизвестных параметров объекта. В результате решения этой системы определяются коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе передаточной функции объекта, корни которых являются нулями и полюсами передаточной функции.

При использовании данного метода важен правильный выбор параметров модулирующих функций. В реальных задачах ограничения на их диапазон диктуются конкретными условиями, в которых проводится идентификация. Так, исходя из требования к затуханию модулирующих функций их постоянные времени рекомендуется выбирать, покрайней мере, в пять раз меньшими времени наблюдения переходного процесса.

Отметим, что класс входных сигналов при использовании ММФ ограничен ступенчатыми функциями, следовательно, ММФ является средством предварительной идентификации при тестировании САУ. С другой стороны, в указанном классе входных сигналов ММФ более предпочтителен по сравнению с рассмотренными выше методами идентификации. Это связано, прежде всего, с тем, что ступенчатый сигнал является недостаточно информативным для методов инструментальных переменных и ошибки предсказания. Следовательно, можно сформулировать базовые правила по выбору ММФ среди рассмотренных методов идентификации и по выбору постоянных времени модулирующих функции, если применяется ММФ.

П р а в и л о 7. ЕСЛИ <проводится предварительная идентификация> И <тестирующий сигнал принадлежит классу ступенчатых функций>, ТО <применить ММФ> ИНАЧЕ <использовать другие методы из БА ЭР>.

П р а в и л о 8. ЕСЛИ <идентифицируется ОУ ММФ>, ТО <постоянные времени модулирующих функций выбрать в пять раз меньшими времени регулирования переходного процесса> И <провести идентификацию>.

Дата добавления: 2015-07-15