Уравнения Ньютона-Эйлера для твердого тела

Рассмотрим твердое тело как систему материальных точек (частиц). Такое представление дано на рис. 1. Точка связана с инерциальной системой отсчета. Точка связана с телом. Центр материальной частицы твердого тела определен радиус-вектором относительно точки и радиус-вектором относительно точки . Точка является центром масс тела, то есть

, (10)

где – масса тела.

Рис. 1. Твердое тело

Радиус-вектор центра материальной частицы

. (11)

Ускорение материальной частицы определяется выражением

, (12)

где – угловая скорость тела; – угловое ускорение тела.

Уравнения (5) для твердого тела можно записать в следующем виде

, (13)

где – внешняя сила, действующая на тело.

Используя (12) и (10) можно получить

, (14)

где – ускорение центра масс тела.

Используя (14), уравнения (13) для твердого тела запишем в следующем виде

. (15)

Уравнения (15) представляют собой уравнения поступательного движения твердого тела или уравнения Ньютона для поступательного движения твердого тела.

Уравнения (9) для твердого тела можно записать в следующем виде

, (16)

где – момент внешней силы, действующей на тело.

Используя (10), (11), (12), для правой части выражения (16) можно записать

. (17)

Используя (15), первое слагаемое в выражении (17) можно представить в виде

. (18)

Первый интеграл в выражении (17) можно представить в виде

. (19)

Матрица в выражении (19) представляет собой тензор инерции тела относительно точки .

. (20)

Используя свойство двойного векторного произведения , а также равенство нулю смешанного произведения трех векторов при наличии в нем двух одинаковых векторов, можно показать, что

. (21)

Используя (21), второй интеграл в выражении (17) можно представить в виде

. (22)

Используя (11), можно записать

, (23)

где – момент внешней силы относительно точки .

Используя (17), (18), (19), (22) и (23), уравнения (16) для твердого тела можно записать в следующем виде

. (24)

Если в качестве точки принять центр масс тела , уравнения (24) приобретают следующий вид

, (25)

где – тензор инерции тела относительно его центра масс; – момент внешней силы относительно центра масс тела.

Уравнения (25) представляют собой уравнения вращательного движения твердого тела или уравнения Эйлера для вращательного движения твердого тела.

Уравнения (15) и (25) в совокупности представляют собой замкнутую систему из шести уравнений, полностью описывающую движение твердого тела. Эти уравнения называются уравнениями Ньютона-Эйлера для твердого тела. Запишем их в следующем виде

(26)

Если рассматривать не одно тело, а систему тел, то силы, действующие на тело, удобно разделить на активные силы и реакции, подобно тому как это было сделано для системы материальных точек. В этом случае уравнения Ньютона-Эйлера (26) имеют следующий вид

(27)

Дата добавления: 2015-07-15