Законы сохранения

Базовые уравнения Ньютона

В соответствии с законами Ньютона движение механической системы, состоящей из материальных точек, описывается следующими векторными уравнениями

, (1)

где – сила, действующая на материальную точку; – количество движения материальной точки; – масса материальной точки; – радиус-вектор материальной точки; – время.

Если массы точек не изменяются во времени, то уравнения (1) можно записать в следующем виде

, (2)

где – ускорение материальной точки.

Законы сохранения

Силу, действующую на каждую материальную точку, можно рассматривать как сумму двух слагаемых

, (3)

где – активные силы, то есть силы не связанные свзаимодействием точек системы, их также принято называть внешними силами; – силы реакций, обусловленные взаимодействием точки с другими точками системы.

Смысл разделения сил на активные и реакции состоит в том, что при рассмотрении системы точек как единого целого силы реакции попарно уничтожаются в соответствии с третьим законом Ньютона. Таким образом

. (4)

Используя (1) и (4), можно получить следующее уравнение

, (5)

где – общее количество движения системы.

Уравнение (5) выражает теорему об изменении количества движения механической системы. Ее следствием является закон сохранения количества движения: Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то общее количество движения системы сохраняет постоянное значение.

Другой важной характеристикой является момент количества движения системы. Для -й материальной точки момент количества движения относительно центра системы координат определяется следующим образом

. (6)

Из (1) и (6) можно получить

, (7)

поскольку .

Суммируя (7) по всем точкам системы, получим

. (8)

Таким образом, производная по времени от момента количества движения системы равна сумме моментов всех сил, действующих на систему, как внешних (активных), так и внутренних (реакций). Действие внутренних сил в данном случае не уничтожается на основании только третьего закона Ньютона. Они уничтожаются в том случае, если ввести дополнительное предположение, что внутренние силы являются центральными, то есть они направлены вдоль линий, соединяющих материальные точки. В этом случае

. (9)

Уравнение (9) выражает теорему об изменении момента количества движения механической системы. Ее следствием является закон сохранения момента количества движения: Если главный момент внешних сил относительно некоторой точки равен нулю, то главный момент количества движения системы сохраняет постоянное значение.

Дата добавления: 2015-07-15