Жеке туындылар.

1. Анықталмаған коэффициенттер әдісі.

Интерполяциялық формулаларды қолдану кезіндегі ұқсас формулаларды түйіндердің еркін орналасқан жағдайы үшінде алуға болады. лагранж көпмүшелігін қолдану бұл жағдайда өте көп өрнектерді есептеуге әкеледі, сондықтан анықталмаған коэффициенттер әдісін қолданған ыңғайлы. Ол келесімен қорытындалады. k ретті туынды үшін қандайда бір нүктесінде ізделіп отырған өрнек түйіндеріндегі функциялардың берілген мәндерінің сызықтық үйлесімі түрінде беріледі:

(10)

Бұл қатынас дәл орындалады деп болжанады, егер у функциясы дәрежесі n –нен жоғары емес көпмүшелік болып табылса, яғни

түрінде көрсетілуі мүмкін.

Бұдан шығатыны, (10) қатынас, атап айтқанда көпмүшеліктері үшін дәл орындалуы тиіс. Осы өрнектерді тізбектеп (10) қоя отырып және дәл теңдіктің орындалуын талап ете отыра, белгісіз коэффициенттерінанықтау үшін n+1 сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз.

Мысалы. Төрт тең орналасқан түйіндер (n=3) жағдайында туындысы үшін өрнекті табу керек.

(10) жуықтау мына түрде жазылады:

(11)

Келесі көпмүшеліктерді қолданамыз:

(12)

Олардың туындыларын есептейміз:

(13)

(12) және (13) қатынастарды, келесі дәл теңдеудің орындалуын талап ете отырып тізбекті түрде сәйкес (11) оң және сол бөліктеріне қоямыз:

Соңғы теңдеулер жүйесін мына түрде аламыз:

Осы жүйені шеше отырып, аламыз

Осы мәндерді (11) қойып, туынды үшін мына өрнекті аламыз:

2. Аппроксимацияны жақсарту. Туындыларды аппроксимациялауға арналған соңғы-айырымдық қатынастардан көрінгендей, аппроксимациялау кезінде қолданылатын түйіндердің саны өскен сайын олардың дәлдік реті өсе түседі. Бірақ түйіндер санының үлкен кезінде осы қатынастар өте үлкен бола түседі, ол есептеу көлемінің өсуіне әкеледі. Алынатын нәтиженің дәлдігін бағалау қиындай түседі. Солай бола тұра аппроксимациялайтын соңғы-айырымдық схемаларда қолданылатын, түйіндердің бекітілген саны кезінде шешімді дәлдеудің қаоапайым және тиімді тәсілі бар. Ол Рунге-Ромберга әдісі. Оның мағынасын қысқаша баяндайық.

F(x) - аппроксимациялауға жататын туынды болсын делік, f(x,h) – h қадамымен теңөлшемді тордағы осы туындының соңғы-айырымдық апппроксимациясы, R - аппроксимация қателігі, оның басты мүшесін түрінде жазуға болады, яғни

Сонда туындыны аппроксимациялау үшін өрнекті жалпы жағдайда мына түрде көрсетуге болады:

(14)

3. Жеке туындылар. Кестелік түрде берілген, u=f(x,y) екі айнымалылы функцияны қарастырайық: , мұндағы . 2 кестеде деректер бөлігі берілген, олар бізге әріде керек болады.

Жеке туынды түсінігін қолданып, h₁ және h₂ қадамдарының кіші мәндері үшін жуықтап жазамыз:

Жоғарыда енгізілген белгілеулерді қолданып, түйінінде соңғы айырымдар қатынатары көмегімен жеке туындылар үшін келесі жуық өрнектерді аламыз:

Кесте 2

Көп айнымалылы функцияларды сандық дифференциалдау үшін, ертеректегі сияқты, интерполяциялық көпмүшелікті қолдануға болады. бірақ мұнда басқа тәсілді қарастырамыз – екі айнымалы функциясын Тейлор қатарына жіктеу:

(18)

Дәріс №19. Тақырыбы: ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ ЖӘНЕ ИНТЕГРАЛДАУ. САНДЫҚ ИНТЕГРАЛДАУ.

Сабақ жоспары:

1. Кіріспе ескертулер.

2. Тікбұрыш және трапеция әдісі.

1. Кіріспе ескертулер. Әріде баяндауға қажетті кейбір түсініктерді еске салайық.

[a,b] кесіндісінде y = f(x) функциясы берілген. нүктелері көмегімен [a,b] кесіндісін n элементар кесінділерге бөлеміз, мұндағы осы кесінділердің әрқайсысында кезкелген нүктені таңдаймыз және осы нүктедегі функциясының мәні элементар кесінді ұзындығына көбейтіндісін табамыз:

(19)

Барлық осындай көбейтінділердің қосындысын құралық:

(20)

қосындысы интегралдық қосынды деп аталады. Осындай бөлу нүктелерінің санын шексіз өсірген кезде, [a,b] кесіндісіндегі f(x) функциясынан анықталған интеграл интегралдық қосынды шегі деп аталады, ол кезде элементар кесінділерінің ең үлкенінің ұзындығы нөлге ұмтылады:

(21)

2. Тікбұрыш және трапеция әдісі. Сандық интегралдаудың қарапайым әдісі тікбұрыштар әдісі деп аталады. Ол тікелей анықталған интегралды интегралдық қосындымен ауыстыруды қолданады. нүктесі ретінде элементар кесінділердің сол немесе оң шекаралары таңдалады. , деп белгілеп, осы екі жағдайға сәйкес тікбұрыштар әдісінің келесі формулаларын аламыз:

(24)

(25)

Кең таралған және дәлірек түрі элементар кесінділердің ортаңғы нүктелеріндегі функция мәндерін қолданатын, тікбұрыштар формуласы болып табылады:

(26)

Әріде тікбұрыштар әдісі деп соңғы алгоритмді түсінеміз (ол тағыда орташалар әдісі деп аталады).

Дәріс №20. Тақырыбы: ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ ЖӘНЕ ИНТЕГРАЛДАУ. САНДЫҚ ИНТЕГРАЛДАУ.

Сабақ жоспары:

1. Сандық интегралдау қателігі

2. Монте Карло әдісі.

1. Сандық интегралдау қателігі. (23) квадратура формуласы бойынша интегралдың жуық мәнін есептеу кезінде мынадай қателік жіберіледі:

Ол бөлу қадамынан тәуелді, және оны түрінде көрсетуге болады. айнымалы қадам кезінде қабылдауға болады. сандық дифференциалдау жағдайындағы сияқты, r дәреже көрсеткішін берілген квадратуралық формуланың (немесе берілген әдістің) дәлдік реті деп атайды. Квадратуралық формула кезкелген [a,b] кесіндісінде интегралданатын f(x) функциясы үшін кезде сандық интегралдау жолымен алынатын интеграл мәні, оның дәл мәніне жинақталатындай түрде құрылуы тиіс. Бұл r>0 теңсіздігінің орындалуын білдіреді.

2. Монте Карло әдісі. Көптеген есептерде бастапқы деректер кездейсоқ сипат алады, сондықтан оларды шешу үшін статистикалық-ықтималдық көзқарас қолданылады. Осындай көзқарастар негізінде бірқатар сандық әдістер құрылған, олар есептелетін және өлшенетін шамалардың кездейсоқ сипатын есепке алады. Оларға сол сияқты Монте Карлоәдісі деп аталатын статистикалық сынақ әдісіде жатады, ол есептеу математикасының кейбір есептерін шешуге, оның ішінде және интегралдарды есептеуге қолданылады.

Монте Карлоәдісі қандайда бір кездейсоқ шамасын қарастырады, оның математикалық күтілімі ізделіп отырған шама х тең:

М =х.

тәуелсіз сынақтар сериясы жүргізіледі, оның нәтижесінде сияқты таралуға ие болатын (таңдау) кездейсоқ сандар тізбегі алынады (генерацияланады), және осы мәндер жиынтығы бойынша таңдалған орта мән табылады, ол М статистикалық бағалау болып табылады. Ізделіп отырған х шамасы осы бағаға жуықтап тең болады деп алынады:

- [0,1] кесіндісінде теңөлшемді таралған кездейсоқ шама. Бұл оның таралу тығыздығы келесі қатынаспен берілетіндігін білдіреді:

Дәріс №21. Тақырыбы: ҚАРАПАЙЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕҢДЕУЛЕР. НЕГІЗГІ ТҮСІНІК

Сабақ жоспары:

1. Есеп қойылымы.

2. Шешу әдістері туралы

Негiзгi ұғымдар

1. Есеп қойылымы. Инженер - зерттеушіге өз ісінде дифференциалды теңдеулерге жиі кездесуіне тура келеді. Механика, физика, химия және ғылым мен техниканың тағы басқа салаларының көптеген есептерi оларды модельдеу кезінде дифференциалдық теңдеулерге тіреледі. Осыған байланысты дифференциалдық теңдеулердi шешу математикалық есептердiң ең маңыздыларының бiрi болып табылады. Есептеу математикасында дифференциалдық теңдеулердi шешудiң сандық әдiстерi зерттеледi, олар есептеушi техниканы қолданумен үйлескенде ерекше тиiмдi болады.

Дифференциалдық теңдеулердi шешудің сандық әдiстерiн талқылаудан бұрын, дифференциалдық теңдеулер курсынан кейбiр мәлiметтердi, және айрықша, ары қарай баяндау кезінде керек болатындарын ескертеміз.

Тәуелсiз айнымалылар санынан тәуелді дифференциалды теңдеулер екi маңызды әр түрлі санаттарға бөлінеді: бiр тәуелсiз айнымалыдан тұратын қарапайым дифференциалдық теңдеулер және бірнеше тәуелсіз айнымалыдан тұратын жеке туындыларымен теңдеулер.

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер деп, ізделіп отырған у = у(х) функциясының бiр немесе бiрнеше туындысынан тұратын, сондай теңдеулерді айтады. Оларды мына түрде жазуға болады:

F(x,y,y',...,y⁽ⁿ⁾)=0, (1)

мұндағы х - тәуелсiз айнымалы.

(1) теңдеуiне кiретiн туындының n ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады. Бiрiншi және екiншi ретті теңдеуді жазайық:

F(x,y,y') = 0, F(x,y,y',y")=0.

Бiр қатар жағдайда (1) дифференциалдық теңдеуiнiң жалпы жазылуынан үлкен туындыны айқын түрде өрнектеуге болады. Мысалы,

y' = f(x,y), (2)

у" = f(x,y,y').

Мұндай жазу түрі үлкен туындыға қатысты рұқсат етілген, теңдеу деп аталады.

Сызықтық дифференциал теңдеу деп, iзделiп отырған функция және оның туындыларына қатысты сызықтық, теңдеуді айтады. Мысалы, у' — х² у = sin х - бiрiншi реттік сызықтық теңдеу.

(1) дифференциалдық теңдеуiнiң шешiмi деп барлық n рет дифференциалдалатын у = (x) функциясын айтады, ол оны теңдеуге қойғаннан кейін оны тепе-теңдікке айналдырады.

(1) n реттік кәдiмгi дифференциалдық теңдеудiң жалпы шешiмi n С₁, С₂,..., С_n кез келген тұрақтыларынан тұрады:

у = (С₁, С₂,..., С_n), (3)

мұндағы (3) С₁, С₂,..., С_n кезкелген мәнінде (1) теңдеуiнiң шешiмi болып табылады, ал (1) теңдеуiнiң кез келген шешiмiн кейбiр С₁, С₂,..., С_n –де (3) түрінде көрсетуге болады.

Егер кез келген тұрақтыға белгiлi бiр мәндi берсе, дифференциалдық теңдеудiң жеке шешiмi жалпы шешімнен алынады.

Бiрiншi реттік теңдеу үшiн жалпы шешім бiр кез келген тұрақтыдан тәуелдi болады:

у = (х,С). (4)

Егер тұрақты С = С₀ белгiлi бiр мәнін қабылдаса, онда жеке шешім пайда болады:

у = (х,С₀).

(2) бiрiншi реттік дифференциалдық теңдеудiң геометриялық түсініктемесін берелік. у' туындысы берілген нүктеде у = у(х) шешiмнiң графигіне жанама көлбеуін (интегралды қисық) сипаттайтын болғандықтан, онда у' = k = const болғанда (7.2) – ден f(x,y) = k – изоклин деп аталатын тұрақты көлбеу сызық теңдеуін аламыз. k –ны өзгерте отырып, изоклин тобын аламыз.

(4) жалпы шешiмiнiң геометриялық түсініктемесін келтірейік. Бұл шешiм С параметрімен интегралдық қисықтардың шексiз тобын сипаттайды, ал жеке шешiмге осы топтың бiр қисығы сәйкес келедi. Кейбiр қосымша жорамалдарда (x₀, у₀) әрбір ішкі нүктесі арқылы тек бір интегралдық қисық өтедi. Бұл бекiту келесi теоремадан шығады.

Коши теоремасы. Егер (2) теңдеуінің оң бөлігі f(x,y) және оның жеке туындысы анықталған және айнымалыларының өзгеру G қандайда бір аумағында үздіксіз болса, онда осы аумақтың барлық (x₀, у₀) ішкі нүктелері үшін берілген теңдеу х = х₀ болғанда у = у₀ берілген мәнін қабылдайтын, жалғыз шешімге ие болады.

2. Шешу әдістері туралы. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді келесі топтарға бөлуге болады: графикалық, аналитикалық,жуық және сандық.

Графикалық әдістер геометриялық құруды қолданады. Атап айтқанда, олардың біреуі (2) түрдегі бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерді шешуге арналған изоклин әдістері болып табылады.мол изоклиндармен анықталған, бағыттардың алдынала құрылған өрістері бойынша интегралдық қисықтардың геометриялық анықтамаларына негізделген.

Кейбір аналитикалық әдістермен оқушы дифференциалдық теңдеулер курсы бойынша таныс. Бірінші ретті бірқатар теңдеулер үшін (біртекті, сызықтық және басқа бөлінетін айнымалылармен), сонымен қатар жоғары ретті теңдеулердің кейбір типтері үшін (мысалы, тұрақты коэффициенттермен сызықтық) аналитикалық жолмен алынған формулалар түрінде шешім алуға болады.

Жуық әдістер олардағы мүшелердің кейбіреуін негіздеп алып тастау жолымен, сонымен қатар ізделіп отырған функциялар классын арнайы таңдаумен теңдеулердің өзін әртүрлі ықшамдауды қолданады. Мысалы, кейбір инженерлік есептерде шешімді екі құрауыштың қосындысы түрінде көрсетуге болады, олардың біріншісі негізгі шешімді анықтайды, ал екіншісі – аздаған қосу (возмущение), оның квадратын елемеуге болады. линеризациялаудың әртүрлі әдісі осыған негізделген. Жуық әдістерде сол сияқты берілген есептің қандайда бір кіші параметрі бойынша шешімді қатарға жіктеу кең қолданылады. Берілген әдістер тобына асимптотикалық әдістерде жатады, олардың көмегімен қарастырылып отырған құбылыстың шектік суретін сипаттайтын, шешім алынады.

Мұнда біз дифференциалдық теңдеулерді шешудің сандық әдістерін қарастырамыз, олар қазіргі уақытта дифференциалдық теңдеулермен сипатталатын, ғылыми-техникалық есептерді зерттеудегі негізгі құрал болып табылады. сонымен бірге берілген әдістер қазіргі заманғы компьютерлерді қолданумен үйлескенде айрықша тиімді екендігін айта кету қажет.

Дәріс № 22. Тақырыбы: ҚАРАПАЙЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕҢДЕУЛЕР. НЕГІЗГІ ТҮСІНІК

Сабақ жоспары:

1. Айырымдық әдістер.

Әдетте айырымдық схемаларда жазудың жинақтылығы үшін дифференциал теңдеулерді, бастапқы және шекаралық шарттарды операторлық деп аталатын, қандайда бір белгілік түрде көрсетеді. Мысалы мына теңдеулерің кезкелгенін

түрінде жазуға болады. мұндағы - дифференциалдау амалдарынан тұратын, дифференциалдық оператор; оның мәні әртүрлі дифференциал теңдеу үшін әртүрлі. Х аргументінің өзгеру аумағын арқылы белгілеуге болады, яғни . Атап айтқанда, қарапайым дифференциал теңдеулерді шешу кезінде аумағы қандайда бір [a,b] кесіндісі жартылай осі (немесе ) және т.б. болуы мүмкін.

Шекарадағы қосымша шарттарда операторлық түрде көрсетіледі. Мысалы, мына шарттардың кезкелгенін

түрінде жазуға болады. Мұндағы l - бастапқы немесе шекаралық шарттар операторы, - осы шарттардың оң бөлігі, Г – қарастырылатын аумақ шекарасы (яғни х=0, х=a. X=b және т.б.).

Дәріс №23. Тақырыбы: ҚАРАПАЙЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕҢДЕУЛЕР. КОШИ ЕСЕБІ.

Сабақ жоспары:

1. Жалпы мәлімет.

2. Эйлер әдісі

1. Жалпы мәлімет. Келесі теңдеуді қанағаттандыратын:

(9)

және болғанда У₀ берілген мәнін қабылдайтын функциясын табу керек:

(10)

Сонымен бірге анықтық үшін шешімді мәні үшін алу керек деп санайтын боламыз.

Коши теоремасына сәйкес (9) есебінің шешімі бар, жалғыз және тегіс функция болып табылады, егер екі айнымалысының функциясы болып табылатын, (7.9) теңдеуінің оң жағы , қандайда бір тегістік шарттарын қанағаттандырса. Осы шарттар орындалған және жалғыз шешімі бар деп санаймыз.

(9), (10) есептерін шешу әдісі және (9) түріндегі теңдеулер жүйесі жағдайынада қолданылады, ал оларға өз кезегінде сонымен қатар жоғары ретті теңдеулерді әкелуге болады. Мысалы,

теңдігін функцияларына қатысты теңдеулер жүйесі түрінде жазуға болады:

(11)

мұндағы , .

Бұл жүйені бір векторлық теңдік көмегімен жазуға болады:

(12)

Мұнда .

2. Эйлер әдісі. Қарапайым дифференциалды теңдік үшін Коши есебін шешудің ең қарапайым сандық әдісі Эйлер әдісі болып табылады.

(7.9) теңдігін түйіндерінің айналасында қарастырайық және сол жақтағы туындысын оң айырыммен ауыстырайық. Сонымен бірге түйініндегі У функциясының мәнін торлық функция мәнімен ауыстырайық:

(14)

Қарапайымдық үшін түйіндер тең аралықты деп аламыз, яғни . Сонда (7.14) теңдіктен алатынымыз:

(15)

(9) теңдігіен келесі өрнек шығатынын байқаймыз:

Енгізу
i үшін 1-ден
	Шығару x,y
n дейін

Сур.1. Эйлер әдісі.

Дәріс №24. Тақырыбы: ҚАРАПАЙЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕҢДЕУЛЕР. КОШИ ЕСЕБІ.

Сабақ жоспары:

1. Көпқадамды әдістер.

2. Нәтижелер дәлдігін арттыру

1. Көпқадамды әдіс. Көпқадамды әдіс келесі түрде құрылуы мүмкін. (9) теңдеуін мына түрде жазайық:

(28)

Теңдіктің екі жағын кесіндісінде х бойынша интегралдаймыз.

(29)

қадаммен мәндері бойынша дәрежесіндегі көпмүшесін қойып функциясын аппроксимациялаймыз. Бұдан кейін былай жазуға болады:

(30)

(29) және (30) өрнектерін пайдаланып келесі өрнекті алуға болады:

Осы формула негізінде кез келген дәлдік тізбегінің көпқадамды әдісін құруға болады. Сонымен қатар көпқадамды әдістің тағы бір түрі жиі қолданылады. Ол Адамс әдісі. Осы әдісті жалпы түрде қарастырайық. берілсін. Сонымен бірге болсын. Ньютон көпмүшесін қолданып келесі өрнекті алуға болады:

(31)

Бұл 4-ші ретті Адамс әдісі.

2. Нәтижелер дәлдігін арттыру. Сандық шешім дәлдігін әртүрлі жолдармен арттыруға болады. Атап айтқанда, осыған жоғары ретті дәлдікпен айырымдық схемаларын қолданып қол жеткізуге болады. бірақ мұндай схемаларды тек тұрақты коэффициенттерімен тедеулер үшін құру мақсатқа лайық, себебі айнымалы коэффициенттер жағдайында жоғары реттік схемалар қиын алгоритмдерге әкеледі.

Дәлдікті сол сияқты h қадамы мәнін азайту жолыменде арттыруға болады. Бірақ және бұл жолда үнемділік талабымен шектелген, себебі қажетті дәлдікпен шешімді алу есептеудің өте зор көлемін талап етеді.

Тәжірибеде жиі машиналық уақытты маңызды өсірмейақ сандық шешімнің дәлдігін арттыру үшін Рунге әдісін қолданады. Рунге әдісі әртүрлі қадаммен бір айырымдық схема бойынша қайталап есептеулер жүргізуден тұрады. Әртүрлі есептеулер кезінде бірдей түйіндердің дәлденген шешімі жүргізілген есептеулер сериясымен құрылады.

Дәріс №25. Тақырыбы: ҚАРАПАЙЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕҢДЕУЛЕР. ШЕКТІК ЕСЕПТЕР.

Сабақ жоспары:

1. Алғашқы түсінік.

2. Ату әдісі

1. Алғашқы түсінік. Алдыңғы сабақта бастапқы шарттармен есептер қарастырылған болатын, яғни бір (бастапқы) нүктедегі шарттармен: кезінде және т.б. Тәжірибеде жиі шарттар тәуелсіз айнымалының екі мәні кезінде берілетін жағдайдағы (қарастырылатын кесіндінің соңдарында) басқа типті есептерді шығаруға тура келеді. Шектік деп аталатын, осындай есептер жоғары ретті теңдеулерді немесе теңдеулер жүйесін шешу кезінде алынады.

Мысалы, екінші ретті сызықтық дифференциал теңдеулерді қарастырайық

(36)

Шектік есеп, кесінді соңдарында келесі шарттарды қанағаттандыратын, [a,b] кесіндісінде (36) теңдеудегі шешімін іздеуден тұрады

(37)

Шекаралық шарттар тек (37) түрінде ғана емес, және жалпыланған түрдеде берілуі мүмкін:

(38)

Шектік есептерді шешу әдістері әртүрлі – бұл дәл аналитикалық, және жуық, және сандық әдістер.

2. Ату әдісі. Екінші туындыға қатысты шешілген, екінші ретті теңдеуді шешу үшін шектік есепті қарастырайық:

(41)

Осы теңдеудің шешімін [0,1] кесіндісінде іздейміз. Кезкелген [a,b] кесіндісін осы кесіндіге айнымалыны ауыстыру көмегімен келтіруге болады:

Қарастырылатын кесіндінің соңындағы шекаралық шарттарды қарапайым түрде (37) қабылдаймыз, яғни

(42)

Ату әдісінің мағынасы (41), (42) шектік есептерінің шешімін келесі бастапқы шарттармен сол (41) теңдеу үшін Коши есебінің тізбегін шешуге келтірумен бекітіледі:

(43)

Сурет 7. Ату әдісі

Дәріс №26. Тақырыбы: ҚАРАПАЙЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕҢДЕУЛЕР. ШЕКТІК ЕСЕПТЕР.

Сабақ жоспары:

1. Соңғы айырымдар әдісі.

Осы әдістердің артықшылығы, олар дифференциал теңдеулер үшін шектік есеп шешімін берілген нүктелер жиынында ізделіп отырған функция мәндеріне қатысты алгебралық теңдеулер жүйелерін шешуге әкелетіндігінен тұрады. Бұл дифференциал теңдеулерге кіретін, туындыларды олардың соңғы-айырымдық аппроксимацияларымен ауыстыру жолымен алынады.

Берілген шекаралық шарттар кезінде (42) екінші ретті дифференциалдық теңдеулер үшін (41) шешімнің осындай әдісінің мағынасын қарастырайық. [0,1] кесіндісін нүктелерімен n тең бөлікке бөлеміз. (41), (42) шектік есептерін шешуді түйіндік нүктелерде торлық функция мәндерін есептеуге келтіреміз. Ол үшін ішкі түйіндер үшін (42) теңдеуді жазамыз:

(49)

Осы қатынастарға кіретін, туындыларды олардың соңғы-айырымдық аппроксимациясымен ауыстырамыз:

(50)

Осы өрнектерді (49) қойып, айырымдық теңдеулер жүйесін аламыз:

(51)

Ол торлық функция мәндеріне қатысты n-1 алгебралық теңдеулер жүйесі болып табылады.

Дәріс №27. Тақырыбы: ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛАРМЕН ТЕҢДЕУЛЕР. АЙЫРЫМДЫҚ СХЕМА ТЕОРИЯСЫНЫҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ

Сабақ жоспары:

1. Кіріспе ескертулер.

2. Айырымдық схемалар құру туралы

1.Бастапқы ескертулер. Дифференциалды дербес туынды теңдеулерiнiң шешiмiне мысалы, механиканың көп есептерiн алуға болады. Бұл жерде iзделiп отырған функцияларға әдетте тығыздық, температура және басқалар қызмет көрсетедi. Кеңiстiктiң нүктелерi, сонымен бiрге уақыт қарастырылады. Бiрiншi және екiншi реттердiң теңдеулерi үшiн, туындыға қатысты сызықты есептердi қарастыратын боламыз. х,у екi тәуелсiз айнымалылар жағдайында, бұл теңдеулерді мына түрде жазып алуға болады:

(1)

Мұнда u = u(х,у) — iзделiніп отырған функция. а, b, с, d, e, f коэффициенттері және д оң жақ бөлігі, жалпы айтқанда, х, у айнымалыларына және iзделiніп отырған функцияға тәуелді болуы мүмкін. Осыған орай теңдеу (8.1) төмендегідей болуы мүмкін: а) тұрақты коэффициенттермен; б) егер д сызықты и-ға тәуелдi болса, ондакоэффициенттер тек қана х,у тәуелдi болады;в) егер коэффициенттер u -ге тәуелдi болса квазисызықты, яғни теңдеудiң жалпы көрiнiсi (8.1).

Коэффициенттер арасындағы байланысқа байланысты теңдеулердiң әр түрлi түрлерi болады.Олардың кейбірін қарастырайық.

a = b = c = f = = 0, мұнда бiрiншi ретті теңдеуiнің

тасымалдау теңдеуі деп аталатын түрі пайда болады. Бұл теңдеу тәжірибе жүзiнде айнымалылардың бірі уақыт t бола алады.Онда оны эволюциялық теңдеудеп те атайды.

Егер а,в,с - ның коэффициенттерінiң бiрi, нөлден айырмашылық болса, (8.1) онда екiншi реттi теңдеуi болып табылады. Дискриминант D = в2 - дiң таңбасына байланысты - ол үш түрлердiң бiрiне жатуы мүмкін: гиперболалық (D > 0), параболалық (D = 0) немесе эллипстік (D < 0).

Екiншi ретті дербес туындыларыбар теңдеулерiге мысалдар келтiрейік:

толқындық теңдеу (гиперболалық):

жылуөткiзу немесе диффузия теңдеуi (параболалық)

Лаплас теңдеуі (эллиптикалық)

Егер соңғы теңдеудiң оң бөлiгi нөлден айырмасы болса, онда ол Пуассонның теңдеуi деп аталады. Келтiрiлген теңдеулер математикалық физика теңдеулерідеп аталады. Олардың шешiмiне көп қолданбалы есептердi жатқызуға болады. Көрcетiлген теңдеулердiң шешiмiнiң сандық әдiстерiн талқыламастан бұрын, айырма схемалардың құрастыруының негiзгi мәселелерiн қарап шығамыз.

2. Айырымдық схемаларды құрастыру туралы. Айырма схемалардың құрастыруларыд ербес туындылары бар теңдеулерiнiң шешiмдерi қаралатын кеңiстiктегi торды енгiзулерге негiзделген. Тордың түйiндерi есептi нүктелер болып табылады.

Төртбұрышты облыстың мысалы Г-ың G(x,y) шекарасымен екi өлшемдi жағдайында 1-шi суретте көрсетiлген.

1-сурет

Тiктөртбұрыштың тараптары қарапайым кесiндiлер нүктелермен жiктеледі және

Координаталық түзулерiн осы екi нүктелермен жүргiзiлетін х= const және у= const тiк төртбұрышты ұяшықтары бар торды құрайды. Оның номерлі (i,j) кез келген түйiнi, (x_i,y_j) координаталарымен анықталады. 1 суретте көрсетiлгендей барлық ұяшықтарда торлар бiрдей болғандықтан, мұндай торды бiрқалыпты деп атайды.

Дәріс № 28. Тақырыбы: ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛАРМЕН ТЕҢДЕУЛЕР. АЙЫРЫМДЫҚ СХЕМА ТЕОРИЯСЫНЫҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ

Сабақ жоспары:

1. Жинақтылық.Аппроксимация.Төзімділік

Бұл айырымдық схемалар теориясының негізгі түсініктері қарапайым дифференциал теңдеулерді шешу үшін сандық әдістерді құру кезінде талқыланған. Дербес туындылармен теңдеулерге өтке кезде қарастырылатын есептердің сипаты сапалық өзгереді, сондықтан осы түсінікті қайта қарау қажет.

Берілген бастапқы және шекаралық шарттар кезінде дербес туындылармен теңдеулерді шешуден тұратын, бастапқы дифференциал есепті операторлық түрде жазамыз:

(7)

Осы операторлық теңдеуге тек дербес туындылармен бастапқы теңңдеулер ғана емес, және қосымша (бастапқы және шекаралық) шарттарда кіреді. функциясы теңдеудің оң бөлігін, сол сияқты бастапқы және шекаралық шарттардыда сипаттайды.

(7) дифференциалдық есепті тор түйіндерінде анықталған торлық функцияға қатысты айырымдық есеппен ауыстырамыз. Қарапайымдық үшін тор бір параметр , ал уақыт бойынша қадам арқылы өрнектеледі: , мұндағы . Айырымдық есепті сол сияқты операторлық түрде осылай жазуға болады:

(8)

торлық функция мәндерін тор түйіндерінде жуықтап сол түйіндерде келесі қателікпен ізделіп отырған функция мәндерімен ауыстырады:

(9)

Осы қателіктердің кейбір тән мәндерін енгізелік, мысалы олардың тордағы модуль бойынша максималь мәнін:

(9) айырымдық схема жинақты деп атайды, егер тор түйіндерін қоюлатқанда бұл қателік мәні нөлге ұмтылады, яғни егер

Дәріс №29. Тақырыбы: ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛАРМЕН ТЕҢДЕУЛЕР. БІРІНШІ РЕТТІК ТЕҢДЕУЛЕР

Сабақ жоспары:

1. Тасымалдау сызықтық теңдеуі. Дербес туындылармен теңдеулерді жіктегенде, бірінші реттік теңдеуде тасымал теңдеуі деп аталатындығы айтылған болатын. Бұл осындай теңдеулер қарсыласу (возмущение) және т.б. таралған, орталарда бөлшектерді тасу үдерісін сипаттаумен түсіндіріледі.

Жалпы жағдайда тасымал теңдеуі едәуір күрделі түрге ие болуы мүмкін (мысалы, газдардың кинетикалық теориясындағы Больцман интегродифференциалдық теңдеуі). Бірақ мұнда біз бірінші ретті дербес туындымен сызықтық теңдеулермен шектелеміз. Оның шешімі тек тәжірибелік көзқараспен ғана қызықтырмайды; бұл теңдеу айырымдық схемаларды жасау және зерттеу кезінде оданда көп дәрежеде пайдалы.

Ізделіп отырған функция уақытынан және бір кеңістіктік айнымалы тәуелді деп санаймыз. Онда тасымалдың сызықтық теңдеуі осындай түрде жазылуы мүмкін:

(23)

Мұндағы a – тасу жылдамдығы, оны тұрақты және оң деп санаймыз. Бұл осьінің оң бағытында солдан оңға қарай тасымалдауға (қарсыласудың таралуына) сәйкес келеді. оң бөлік қандай физикалық үдерістің сипатталуынан тәуелді энергияны, бөлшектерді және т.б. жұтудың (немесе, керісінше, шығу көздерінің) болуын сипаттайды.

(23) теңдеуінің сипаттамасы x=at=C=const қатынастарымен анықталады. Тұрақты a кезінде олар түзу сызықтар болып табылады, олар берілген жағдайда (a>0) оңға бұрылған (сурет 5).

Сурет 5. Шешім аумағы

Дәріс № 30. Тақырыбы: ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛАРМЕН ТЕҢДЕУЛЕР. БІРІНШІ РЕТТІК ТЕҢДЕУЛЕР

Сабақ жоспары:

1. Квазисызықтық теңдеулер. Үзілістік шешімдер.

Тасымалдың сызықтық теңдеуін қарастыра отырып, біз есептің дәл шешімі тегіс функция болып табылатындығын болжағанбыз, айырымдық схеманы құрған кезде оны керегінше рет дифференциалдау талап етілген болатын. Қазір біз үзілісті шешімдерді оқитын боламыз. Тасымалдың сызықтық теңдеулері осындай шешімдерге тек, үзілістер бастапқы немесе шекаралық шарттарда «салынған» жағдайда ие болады.

Енді квазисызықтық теңдеулерді қарастырайық, яғни ізделіп отырған функция туындарына қатысты сызықты болатындарды, бірақ функцияның өзі теңдеу коэффициентіне кіруі мүмкін. Осындай теңдеулердің бірі қарапайым тасымалдың квазисызықтық теңдеуі болып табылады:

(44)

Бұл біртекті теңдеу, яғни оның оң бөлігі нөлге тең, ол жұту немес бөлшек көздерінің (энергия) болмауын көрсетеді. Бастапқы уақыт сәтінде (t =0) (44) теңдеу шешімі мына түрде берілген:

(45)

(44) теңдеуде ттасымал жылдамдығының ролін шешімнің өзі атқарады. Осы функция таңбасы кезкелген, оның ішінде есептеу аумағының әртүрлі бөлігінде әртүрлі болуы мүмкін. Қарапайымдық үшін деп санаймыз.

(44) теңдеуді басқа түрде көрсетейік. Келесі қатынастармен анықталатын, қисықтар тобын жазықтығында қарастырайық:

(46)

Әрбір осындай қисық бойында функциясы бір t айнымалысынан күрделі функция болып табылады: . (44), (46) есепке алып осы функцияның t бойынша толық туындысы:

Лабораторлық жұмыстарды орындау бойынша оқу-әдістемелік материалдар.

№ 1 лабораторлық жұмысты орындау бойынша әдістемелік нұсқау

Тақырыбы: «Жуық сандармен әрекет»

Сандар компьютер жадысында түрлі тәсілде көрсетілуі мүмкін. Қазіргі заманғы компьютерлер (процессорлар) бүтін, сонымен қатар жылжымалы нүктемен түрінде бөлшек сандарды өңдеуге мүмкіндік береді.

Бүтін сандардың жиыны шексіз екендігі белгілі. Алайда процессор оның разрядтық торының шектеулігінен тек осы жиынның кейбір шекті жиындарымен амалдарды орындай алады. Қазіргі заманға компьютерлерде бүтін сандарды сақтау үшін әдетте жадтан 4 байт орын бөлінеді, ол шамамен -2 - ден 2 дейінгі аралықта орналасқан бүтін сандарды көрсете алады.

Ғылми-техникалық есептерді шешу барысында негізінен нақты сандар қолданылады. Компьютерде олар жылжымалы нүкте түрінде көрсетіледі. Жазудың осы түрінде D ондық саны D = ±m • 10ⁿ түріне ие болады, мұндағы m және n – сәйкес санның мантиссасы және оның реті. Мысалы, -273.9 санын -2739 • 10^-1 , -2.739 • 10², -0.2739 • 10³ түрінде жазуға болады. Соңғы жазу – жылжымалы нүктемен санның қалыптасқан түрі. Осындай түрде, егер сан мантиссасын түрінде көрсетсек, онда болғанда жылжымалы нүктемен санның қалыптасқан түрін аламыз.

Қазіргі заманғы программалау тілдерінде деректердің типтері бүтін және бөлшек сандарға алдын ала анықталып кеткен. Мысалға Си тілінде float және double типтері, Паскаль тілінде single және double, Фортран тілінде real және double precision. Әдетте бұл берілулуер IEEE 754 (США) стандартына сәйкес келеді.

Осылайша компьютер нақты сандардың жуық мәндерімен амалдарды орындайды. Жуық сандардың дәлдік өлшемі қателік болып табылады.

2. Қателік түсінігі.

Қателікті екі түрге бөледі - абсолюттік және қатынастық. Кей сандардың абсолюттік қателігі есептеу және өлшеу нәтижесінде алынған, оның тура мәні және жуық мәнінің айырмасына тең. Қатынастық қателік – бұл абсолюттік қателіктнің санның жуық мәнінәң қатынасына тең.

Осындай түрде, егер - х санының жуық мәні болса, онда абсолюттік және қатынастық қателік үшін өрнек сәйкес мына түрде жазылады:

Өкінішке орай х шамасының шын мәні әдетте белгісіз болады. Сондықтан жоғарыда келтірілген қателіктер үшін өрнек дерлік қолданылмайды. Тек жуық мәні ғана бар және абсолют қателік модулінің жоғары бағасы болып табылатын, оның шектік қателігін табу керек, яғни . Әріде мәні жуық санының абсолюттік қателігі ретінде қабылданады. Бұл жағдайда х шын мәні аралығында табылады.

Дөңгелектеу нәтижесінде алынған жуық сан үшін, абсолют қателік санның сонғы разрядының бірлігінің жартысына тең болады. Мысалы, = 0.734 мәні 0.73441, 0.73353 және басқа сандарды дөңгелектеумен алынуы мүмкін. Сонымен бірге және = 0.0005 пайымдаймыз.

жуық шамасының кейбір мәндерінде абсолюттік қателікті бағалау мысалдары келтірейік:

1. Жуық сандармен жасалынатын әрекеттер.

Сандарды қосу немесе азайту кезінде олардың абсолюттік қателері қосылады. Сандарды бір-біріне көбейту немесе бөлу кезінде олардың қатынастық қателіктері қосылады. Жуық санды дәрежеге шығарғанда оның абсолюттік қателігі дәреже көрсеткішіне көбейтіледі.

Екі а және b жуық сандар жағдайы үшін осы ережелерді мына формула түрінде жазуға болады.

(1,3)

Шынында, > 0, b > 0, m = min(), M = max() болсын делік. Онда:

Сол сияқты . Тәжірибеде қателікті бағалау үшін М ең үлкен мәні алынады.

Мысал 1. Функцияның қатынастық қателігін табу керек:

(1,3) формуласын қолдана отырып, аламыз:

Қатынастық қателіктің алынған бағасы бөлімінде |1 — х| мәнінен тұрады. болған жағдайда өте үлкен қателік алу мүмкіндігі айқын

№ 2 лабораторлық жұмысты орындау бойынша әдістемелік нұс&#

Дата добавления: 2015-07-15