Элементар функциялар.

1. Элементар функциялар. Әдетте әртүрлі есептерді шешу кезінде элементар функцияларды (тригонометриялық, көрсеткіштік, логарифмдік және басқа) мәндерін есептеуге тура келеді. Осы мақсатта қолдан есептеу кезінде кестелер қолданылуы мүмкін. Бірақ компьютерде есептеу кезінде функциялар кестесін машинаға енгізу жадтың үлкеен шығынын талап етер еді. Одан басқа, компьютер жадысынан функцияның керек мәнін іздеу машина үшін жай жұмыс емес. Сондықтан компьютерде функция мәнін есептеу үшін осы функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеу қолданылады. Мысалы, sin x функциясы келесі қатар көмегімен есептеледі:

(7)

х аргументінің белгілі мәнінде функция дөңгелектеу қателігіне дейінгі дәлдікпен алынуы мүмкін. Қатардың қолданылатын мүшелерінің (7) саны аргумент мәнінен тәуелді.

Сурет 4. Синусты есептеу алгоритмі

Дәріс №12. Тақырыбы: ФУНКЦИЯНЫ АППРОКСИМАЦИЯЛАУ. ҚАТАРЛАРДЫ ҚОЛДАНУ

Сабақ жоспары:

1. Рационал жуықтау

Рационал жуықтау. Бөлшек - рационал өрнек көмегімен функцияны аппроксимациялаудың басқа түрін қарастырайық. Функцияны қандайда бір дәрежедегі екі көпмүшелік қатынасы түрінде көрсетейік. Мысалы, ол үшінші дәрежелі көпмүшеліктер болсын делік, яғни f(x) функциясын бөлшек - рационал өрнек түрінде көрсетейік:

(9)

Бөліміндегі бос мүше мәні с₀=1 осы өрнектің жалпылығын бұзбайды, себебі кезінде алымы және бөлімін с₀ – ге бөлуге болады. Егер с₀=1 болса, онда х=0 кезінде f(x) ерекшелікке ие болады. осындай аппроксимациялауды қарастырмаймыз.

(9) өрнекті мына түрде қайта жазамыз:

f(x) функциясын Тейлор қатарына жіктеуді қолданып:

(10)

және алтыншы дәрежеге дейінгі қоса алғандағы мүшелерді ескеріп мынаны аламыз:

Оның жіктеуін х дәрежесі бойынша жаза отырып, осы теңдіктің оң жақ бөлігін түрлендіреміз:

Дәріс №13. Тақырыбы: ФУНКЦИЯНЫ АППРОКСИМАЦИЯЛАУ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ.

Сабақ жоспары:

1. Сызықтық және квадраттық интерполяция.

2. Лагранж көпмүшелігі.

1. Сызықтық және квадраттық интерполяция. Жиі қолданылатын және қарапайым локальды интерполяция түрі – сызықтық интерполяция. Бұл интерполяцияда берілген нүкте түзу сызықты кес3нд3леррмен байланыстырылады , және f(x) функциясы осы нүктелелерге жуыктайды.

Әрбір бөліктің теңдеуі әр түрлі болып келеді.Өйткені n интервалы қолданылады, олардың әрқайсысы үшін интерполяционды көпмүшелік ретінде сызықты теңдеу қолданылады.Мұнда i интервалы үшін нүктелері арқылы отетін сызықты теңдеуін жазамыз:

Бұдан,

(28)

Сәйкесінше сызықты интерполяцияны қолданар алдында х аргументі орналасатын интервалды анықтап алу керек және оны (28) теңдеуіне қою керек. Алгоритм 2.7 суретте берілген.

Квадраттық интерполяция. бөлігінде интерполяция функциясы ретінде квадратты үшмүшелік қолданылады.

Квадраттық үшмүшеліктің теңдеуі:

(29)

Үш белгісіз коэффициент , болады. Бұларды анықтау үшін үш теңдеу қажет. Олар үш нүкте арқылы өтетін параболаның теңдеуі болып табылады.

(30)

7- сурет. Сызықты интерполяцияның алгоритмі.

1. Лагранж көпмүшелігі.

бөлігі үшін ортақ интерполяционды көпмүшелікке көшейік.

n дәрежелі сызықты көпмүшеліктін интерполяционды көпмүшелігін табамыз:

(31)

Интерполяцияның әрбір бөлігінде l_i(x) көпмүшелігі нольге жуықтауын талап етеміз.

(32)

Дәріс №14. Тақырыбы: ФУНКЦИЯНЫ АППРОКСИМАЦИЯЛАУ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ.

Сабақ жоспары:

1. Интерполяция дәлдігі.

2. Екі айнымалы функциясы.

1. Интерполяция дәлдігі. Интерполяциялық көпмүшелік графигі берілген нүктелер арқылы өтеді, яғни көпмүшелік және берілген функциясының мәндері түйіндерінде беттеседі. Егер функциясының өзі n дәрежелі көпмүшелік болып табылса, онда теңдігі орын алады. Жалпы жағдайда интерполяция түйіндерінен басқа, нүктелерде, Бұл айырым интерполяция қателігі және интерполяциялық формуланың қалдық мүшесі деп аталады. Оның мәнін бағалайық.

берілген сандары функциясының нүктелеріндегі мәндері болып табылсын делік. Осы функция үздіксіз және -ші ретке дейін үздіксіз туындыларға ие болсын делік. Осы жағдайда Лагранж интерполяциялық көпмүшелігінің қалдық мүшесі мынаған тең екендігін дәлелдеуге болады:

(41)

2. Екі айнымалы функциясы. Осыған дейін біз бір тәуелсіз айнымалы функциясын интерполяциялауды қарастырдық. Тәжірибеде сол сияқты бірнеше айнымалы функциялар үшін интерполяциялық формулалар құру қажеттігі туындайды. Қарапайымдық үшін екі айнымалы функциясымен шектелейік. Оның мәндері тең аралықты түйіндер жиынында берілген болсын. белгілеуін енгізейік.

Бір айнымалы жағдайы үшін Ньютон көпмүшелігіне ұқсас, көпмүшелік құрайық. Мұнда екі түрдегі айырымды есептеу керек – және бағыттары бойынша. Бұл бірінші ретті жеке айырымдар келесі формулалар бойынша анықталады:

Сол сияқты екінші ретті жеке айырымдар үшін өрнектерді жазалық:

Дәріс №15. Тақырыбы: ФУНКЦИЯНЫ АППРОКСИМАЦИЯЛАУ. ЭМПИРИЯЛЫҚ ФОРМУЛАЛАРДЫ ТАҢДАУ.

Сабақ жоспары:

1. Тәжірибелік деректер сипаты.

2. Эмпириялық формулалар.

1. Тәжірибелік деректер сипаттамасы. Функцияларды интерполяциялау кезінде біз белгілі нүктелерде – интерполяция түйіндерінде интерполяциялық көпмүшелік және берілген функция мәндерінің теңдік шартын қолдандық.

Бұл берілген функция мәндерінің дәлдігіне жоғары талап қояды. Байқау және өлшеу нәтижесінде алынған тәжірибелік деректерді өңдеу кезінде осы деректердің қателерін есте ұстау керек. Олар өлшеу құралдарының жетілмегендігінен, субъективтік себептерден, әртүрлі кездейсоқ факторлардан және т.б. туындауы мүмкін. Тәжірибелік деректердің қатесін шартты түрде олардың шығу тегі және шамасы бойынша үш санатқа бөлуге болады:жүйелік, кездейсоқ және дөрекі.

Жүйелік қателер әдетте өлшенетін шаманың ақиқат мәнінен бір жаққа ауытқуын береді. Олар тәжірибені қайталау кезінде тұрақты немесе заңды өзгеруі мүмкін, және олардың себебі және сипаты белгілі.

Жүйелік қателер тәжірибе шарттарымен туындауы мүмкін, өлшеу құралының ақауынан, оны жаман реттеуден және т.б. бұл қателерді аппаратты баптау немесе сәйкес түзетулер енгізумен жоюға болады.

Кездейсоқ қателер факторлардың көп санымен анықталады, олар жойылуы мүмкін емес, не нәтижелерді өлшеу немесе өңдеу кезінде жеткілікті дәл есепке алынбаған. Олар кездейсоқ сипат алады, өлшеуді қайталау кезінде орташа шамадан сол және басқа жаққа ауытқуды береді және тәжірибеде қаншалықты ол тыңғылықты жүргізілгенмен жою мүмкін емес. Ықтималдық тұрғысынан кездейсоқ қатенің математикалық күтілімі нөлге тең. Тәжірибелік деректерді статистикалық өңдеу кездейсоқ қатенің шамасын анықтауға және оны жеткілікті рет өлшеуді қайталаумен қандайда бір шамалы мәнге жеткізуге мүмкіндік береді.

Дөрекі қателер өлшеу нәтижесін бұрмалайды; олар өте үлкен және әдетте тәжірибені қайталағанда жоғалып кетеді. Дөрекі қателер статистикалық өңдеу кезінде алынған кездейсоқ қатенің шегінен шығып кетеді. Осындай қателермен өлшеулер лақтырылады және өлшеу нәтижесін аяққы өңдеу кезінде қабылданбайды.

2. Эмпириялық формулалар. және арасындағы белгісіз функционалдық тәуелділікті зерттей отырып, біз тәжірибелер сериясы нәтижесінде осы шамалардың бірқатар өлшеулерін жүргіздік және мәндер кестесін алдық.

Есеп жуық тәуелділікті табудан тұрады:

, (59)

Оның мәндерінің кезінде тәжірибелік деректерінен айырмашылығы аз. Тәжірибелік деректер негізінде алынған, жуық функционалдық тәуелділік (59), эмпириялық формула деп аталады.

Дәріс №16. Тақырыбы: ФУНКЦИЯНЫ АППРОКСИМАЦИЯЛАУ. ЭМПИРИЯЛЫҚ ФОРМУЛАЛАРДЫ ТАҢДАУ.

Сабақ жоспары:

1. Эмпириялық тәуелділік формулаларын анықтау.

2. Деректерді жергілікті тегістеу

1. Эмпириялық тәуелділік формулаларын анықтау. Эмпириялық формулалар типі таңдалған, және оны мына түрде көрсетуге болады деп санаймыз:

. (63)

мұнда - белгілі функция, - белгісіз тұрақты параметрлер. Есеп осындай параметрлердің сондай мәндерінен тұрады, ол кезде эмпириялық формула берілген функцияның жақсы жуықтауын береді, олардың мәндері нүктелерінде тең.

Жоғарыда айтылғандай, мұнда нүктелеріндегі (63) эмпириялық функцияларының мәндерімен тәжірибелік деректерінің бірдей болу шарты қойылмайды. Осы мәндер арасындағы айырымды (ауытқуды) арқылы белгілейміз. Онда

(64)

параметрлерінің ең жақсы мәндерін табу есебі ауытқуын қандайда бір минимизациялауға тіреледі. Осы есепті шешудің бірнеше тәсілі бар.

Олардың ішіндегі ең қарапайымы таңдалған нүктелер әдісі болып табылады. Берілген тәжірибелік нүктелер бойынша ОХУ координаталық жазықтығында нүктелер жүйесі салынады. Одан соң қарапайым сызық (мысалы, түзу) жүргізіледі, ол берілген нүктелерге жуығырақ жақындайды.

2. Деректерді жергілікті тегістеу. Жоғарыда айтқанымыздай тәжірибелік деректер кездейсоқ қателерден тұрады, ол осы деректердің шашырауының себебі болып табылады. Көптеген жағдайда зерттеліп отырған тәуелділіктің сырғулырақ (плавный) сипатын алу үшін оларды тегістеуді жүргізу мақсатқа лайық болады. тегістеудің әртүрлі тәсілдері бпар. Ең кіші квадраттар әдісіне негізделген солардың бірін қарастырайық.

тәуелділігін тәжірибелік зерттеу нәтижесінде нүктелерінде ізделіп отырған функциялар мәндерінің кестесі алынсын делік. аргументінің мәндері теңаралықты, ал тәжірибелік деректер - бірдей дәлдікке ие болады делік Сол сияқты кесіндісінің кезкелген бөлігінде функциясы қандайда бір m дәрежелі көпмүшелікпен жеткілікті түрде жақсы аппроксимациялануы мүмкін делік.

Тегістеуді қарастырылып отырған тәсілі келесіден тұрады тегістелген мәнді табу үшін нүктесінде оның екі жағынан кестедегілердің ішінен k+ 1 аргумент мәнін таңдаймыз (k - жұп): Қарастырылып отырған функцияның тәжірибелік мәндері бойынша осы нүктелерде ең кіші квадраттар әдісі көмегімен m дәрежелі көпмүшелік құрамыз ().

Дәріс №17. Тақырыбы: ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ ЖӘНЕ ИНТЕГРАЛДАУ. САНДЫҚ ДИФФЕРЕНЦИЯЛДАУ.

Сабақ жоспары:

Дата добавления: 2015-07-15