Туындыны аппроксимациялау.

2. Сандық дифференциалдау қателігі.

1. Туындыны аппраксимациялау. у = f(x) функциясының туындысы х нөлге ұмтылғандағы у функция өсімінің х аргумент өсіміне қатынасының шегі деп аталатындығын еске салайық:

(1)

Әдетте туындыларды есептеу үшін дайын формулаларды қолданады және (1) өрнегіне жүгірмейді. Бірақ компьютерде сандық есептеулерде бұл формулаларды қолдану әрқашан ыңғайлы және мүмкін емес. Атап айтқанда, у = f(x) функциясы мәндер кестесі түрінде берілуі мүмкін. Бұл жағдайда туындыны (1) формуласына сүйеніп табуға болады. х қадамының мәнін қандайда бір аяққы санға тең деп алады, және туынды мәнін есептеу үшін жуық теңдікті алады

у' у/ х. (2)

Бұл қатынас соңғы айырым қатынасы көмегімен туындыны аппроксимациялау (жуықтау) деп аталады.

Кестелік түрде берілген у = f(x) функциясы үшін туындыны аппроксимациялауды қарастырайық: x = x₀, x₁,.... түйіндеріндегі у = у₀, у₁,... Қадам - аргументтің көршілес мәндерінің айырымы — тұрақты және h тең болсын. х = х₁ түйінінде у' туындысы үшін өрнекті жазайық, ол сол жақта крестпен белгіленген. Сол кезде қолданылатын түйіндер дөңгелекпен белгіленген. Соңғы айырымдарды есептеу тәсілдерінен тәуелді бір және сол нүктеде туындыны есептеу үшін әртүрлі формулалар аламыз:

(3)

сол жақ айырым көмегімен;

(4)

оң жақ айырым көмегімен;

(5)

орталық айырымдар көмегімен.

Сол сияқты үлкен туындылар үшінде өрнектер алуға болады. Мысалы,

(6)

2. Сандық дифференциалдау қателігі.

f(x) функциясын қандайда бір (x) функциясымен аппроксимациялайық, яғни мына түрде көрсетейік:

(7)

(x) аппроксимациялаушы функция ретінде қатардың бөлік сомасын немесе интерполяциялық функцияны қабылдауға болады. Онда R(x) аппроксимация қателігі қатардың немесе интерполяциялық формуланың қалдық мүшесімен анықталады.

(x) аппроксимациялаушы функция сол сияқты f(x) функциясының туындысын жуықтап есептеу үшінде қолданылуы мүмкін. (7) теңдігін қажетінше рет дифференциалдап, туындыларының мәнін табуға болады:

f(x) функциясының k реттік туындысының жуық мәні ретінде (x) функциясының сәйкес туындысының мәнін қабылдауға болады, яғни . Оның шын мәнінен туындының жуық мәнінің ауытқуын сипаттайтын шама

туынды аппроксимациясының қателігі деп аталады.

Сандық дифференциалдау кезінде, h қадамымен кесте түрінде берілген бұл қателік h -тан тәуелді, және оны (h^r –ден О үлкен) түрінде жазады. Дәреже көрсеткіші r туындыны аппроксимациялау қателігінің реті (немесе берілген аппроксимацияның дәлдігінің реті) деп аталады.

Қателікті бағалауды Тейлор қатарының көмегімен көрсетуге болады.

Дәріс №18. Тақырыбы: ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ ЖӘНЕ ИНТЕГРАЛДАУ. САНДЫҚ ДИФФЕРЕНЦИЯЛДАУ.

Сабақ жоспары:

1. Анықталмаған коэффициенттер әдісі.

2. Аппроксимацияны жақсарту.

Дата добавления: 2015-07-15