Глоссарий

Есептің қойылымы - бұл кезең есептің мазмұнды қойылымна және шешімнің соңғы мақсатын анықтауға тіреледі.

Математикалық модельді құру - модель физикалық үдерістің негізгі заңдарын дұрыс сипаттауы тиіс. Математикалық модельді құру немесе таңдау математиканың сәйкес бөлімдерін білу және мәселені терең түсінуді талап етеді.

Сандық әдісті жасау- к омпьютер тек қарапайым амалдарды орындайды, ол есептің қойылымын тіпті математикалық тұжырымдаудада түсінбейді. Сандық әдістерді жасаумен есептеу математикасы аумағындағы мамандар айналысады.

Алгоритмді құру- есепті шешу үдерісі аяққы нәтижеге әкелетін және есепті шешу алгоритмі деп аталатын, элементар арифметикалық және логикалық амалдар тізбегі түрінде жазылады. Алгоритмді блок-схема түрінде көрнекті бейнелеуге болады.

Бағдарламалау - есепті шешу алгоритмі машинаға түсінікті тілде амалдардың дәл анықталған тізбегі – компьютерге арналған бағдарлама түрінде жазылады. Бағдарлама құру қандайда бір аралық тіл көмегімен жүргізіледі, ал оны аудару есептеу жүйесінің өзімен жүзеге асырылады.

Бағдарламаны баптау - құрылған бағдарлама әртүрлі қателерден, дәлсіздіктерден, жаңылулардан тұрады. Бағдарламаны машинада баптауға бағдарламаны бақылау, қатені іздеу, оны түзету кіреді.

Есептеулерді жүргізу - бұл кезеңде есептеуге арналған бастапқы деректер дайындалады және бапталған бағдарлама бойынша есептеу жүргізіледі.

Нәтижелерді талдау - есептеу нәтижесі талданады, ғылыми-техникалық құжаттамалар толтырылады.

Қатынастық қателік – бұл абсолюттік қателіктнің санның жуық мәнінәң қатынасына тең.

Есептеу қателігін азайту - а рифметикалық амалдардың нәтижесінде қателікті қарастырғанда жуықтап есептеу салыстырмалы қателіктің көбеюіне алып келеді.

Төзімсіз есеп – дұрыс қойылмаған есеп ретінде қарастырылады. Мұндай есептерге сандық әдіс қолданылмайды.

Дұрыстық- егер берілген тапсырманың кейбір кластар үшін шығыз деректер үшін нақ және жалғыз мәні болса онда тапсырманы корректілі қойылған тапсырма деп атаймыз.

Сандық әдістің жинақтылығы - ол есептің сандық шешімінің нақты шешімге жуықтығын білдіреді

Итерациялық үдерістің жинақтылығы - бұл үдеріс қандайда бір есепті шығару және анықталатын параметрдің ізделіп отырған мәнін табу үшін тізбектеп жуықтау. әдісі құрылады

Әдістің жинақтылығы - деп есептің дискреттік моделінің шешім мәндерінің, дискреттеу парметрлері (мысалы, интегралдау қадамы) нөлге ұмтылған кездегі бастапқы есеп шешімінің сәйкес мәндеріне ұмтылуы түсініледі.

Есептің қойылымы - айталық, y өлшемі x аргументінің функциясы болсын. Бұл дегеніміз, анықтау облысындағы x тің кез келген мәніне сәйкесінше y - тің мәні қойылған.

Теңөлшемді жуықтау - түсінігі үздіксіз жиында - [a,b] кесіндісінде берілген және аппроксимациялайтын функцияларды салыстыруды болжайды. Сондықтан теңөлшемді жуықтау үздіксіз аппроксимациялауға жатады

функциясының абсолюттік ауытқуы - берілген кесіндідегі олардың арасындағы айырымның абсолюттік шамасының максимал мәніне тең:

Сызықтық интерполяция- жиі қолданылатын және қарапайым локальды интерполяция түрі. Бұл интерполяцияда берілген нүкте түзу сызықты қиындылармен байланыстырылады , және f(x) функциясы осы нүктелелерге жақындайды.

Квадраттық интерполяция- бөлігінде интерполяция функциясы ретінде квадратты үшмүшелік қолданылады.

Квадраттық үшмүшеліктің теңдеуі:

(29)

Интерполяциялық формуланың қалдық мүшесі- дегеніміз айырымы.

Эмпириялық формула - тәжірибелік деректер негізінде алынған, жуық функционалдық тәуелділік

Соңғы айырым қатынасы көмегімен туындыны аппроксимациялау (жуықтау)- дегеніміз у' у/ х қатынас

Интегралдық қосынды -

Тікбұрыштар әдісі - сандық интегралдаудың қарапайым әдісі

Формуланың (немесе берілген әдістің) дәлдік реті - берілген квадратуралық формуланың r дәреже көрсеткіші

Дифференциалдық теңдеудің реті- F(x,y,y',...,y⁽ⁿ⁾)=0 кіретін туындының n ең жоғарғы реті

Үлкен туындыға қатысты рұқсат етілген, теңдеу - y' = f(x,y), у" = f(x,y,y').

Сызықтық дифференциал теңдеу - деп, iзделiп отырған функция және оның туындыларына қатысты сызықтық, теңдеуді айтады

Дифференциалдық теңдеуiнiң шешiмi - деп б ар лық n рет дифференциалдалатын у = (x) функциясын айтады

Коши теоремасы - егер (2) теңдеуінің оң бөлігі f(x,y) және оның жеке туындысы анықталған және айнымалыларының өзгеру G қандайда бір аумағында үздіксіз болса, онда осы аумақтың барлық (x₀, у₀) ішкі нүктелері үшін берілген теңдеу х = х₀ болғанда у = у₀ берілген мәнін қабылдайтын, жалғыз шешімге ие болады.

Эйлер әдісі - қарапайым дифференциалды теңдік үшін Коши есебін шешудің ең қарапайым сандық әдісі Эйлер әдісі болып табылады.

Гиперболалық теңдеу:

Жылуөткiзу немесе диффузия теңдеуi (параболалық)

Лаплас теңдеуі (эллиптикалық)

Бiрқалыпты тор - барлық ұяшықтарда торлар бiрдей болу керек

Дәріс конспектісі

Дәріс №1. Тақырыбы: КІРІСПЕ.

Сабақ жоспары:

1. Кіріспе
2. Компьютерде есепті шешу кезеңдері.

1. Кіріспе

Компьютерлерді адамзат қызыметінің барлық ортасына енгізу әртүрлі саладағы мамандардан есептеу техникасын қолдану нашығына иемденуді талап етеді.

Компьютерлерді қолдану қазір көпшілік сипат алды. Олар тек ғылыми және инженерлік есептеулерде ғана емес, сонымен қатар бірқатар басқада есептерді шешу кезінде, ақпаратты өңдеу және сақтау үшін және тіпті үйдеде қолданылады. Солай бола тұра математикалық есептеулерді жүргізу үшін компьютерді қолдану өзінің өзектілігін жоғалтқан жоқ. Сонымен бірге ол тек дәл, техникалық және экономикалық ғылымдарға ғана емес, медицина, лингвистика, психология және басқалар сияқты дәстүрлі математикалық емес мамандықтарғада тарады. Есептеу құралы ретінде оларды қолданушы, маандардың көптеген санаты туындады.

Негізгі пәндердің бірі есептеу математикасы болып табылады. Ол әртүрлі үдерістерді модельдейтін, математикалық есептерді шығарудың сандық әдістерін құратын және зерттейтін әдістерді оқиды.

Сандық әдістерді әдетте жоғары білікті мамандар – математиктер жасайды және зерттейді. Математикалық емес мамандық студенттерінің және инженерлік-техникалық жұмысшылардың басым көпшілігіне қатысты, олар үшін бастысы негізгі идеяларды, әдістерді, оларды қолдану ерекшеліктерін және аумақтарын түсіну болып табылады.

2. Компьютерде есепті шешу кезеңдері

Компьютерде есепті шешу кезінде негізгі роль шынында адамға жатады. Машина тек оның тапсырмаларын жасалған бағдарлама бойынша орындайды. Есепті шешу үдерісін келесі кезеңдерге бөліп, адам және машина ролін анықтауға болады.

Есептің қойылымы. Бөл кезең есептің мазмұнды қойылымна және шешімнің соңғы мақсатын анықтауға тіреледі.

Математикалық модельді құру. Модель физикалық үдерістің негізгі заңдарын дұрыс сипаттауы тиіс. Математикалық модельді құру немесе таңдау математиканың сәйкес бөлімдерін білу және мәселені терең түсінуді талап етеді.

Сандық әдісті жасау. Компьютер тек қарапайым амалдарды орындайды, ол есептің қойылымын тіпті математикалық тұжырымдаудада түсінбейді. Сандық әдістерді жасаумен есептеу математикасы аумағындағы мамандар айналысады.

Алгоритмді құру. Есепті шешу үдерісі аяққы нәтижеге әкелетін және есепті шешу алгоритмі деп аталатын, элементар арифметикалық және логикалық амалдар тізбегі түрінде жазылады. Алгоритмді блок-схема түрінде көрнекті бейнелеуге болады.

Бағдарламалау. Есепті шешу алгоритмі машинаға түсінікті тілде амалдардың дәл анықталған тізбегі – компьютерге арналған бағдарлама түрінде жазылады. Бағдарлама құру қандайда бір аралық тіл көмегімен жүргізіледі, ал оны аудару есептеу жүйесінің өзімен жүзеге асырылады.

Бағдарламаны баптау. Құрылған бағдарлама әртүрлі қателерден, дәлсіздіктерден, жаңылулардан тұрады. Бағдарламаны машинада баптауға бағдарламаны бақылау, қатені іздеу, оны түзету кіреді.

Есептеулерді жүргізу. Бұл кезеңде есептеуге арналған бастапқы деректер дайындалады және бапталған бағдарлама бойынша есептеу жүргізіледі.

Нәтижелерді талдау. Есептеу нәтижесі талданады, ғылыми-техникалық құжаттамалар толтырылады.

Дәріс №2. Тақырыбы: КІРІСПЕ

Сабақ жоспары:

1. Математикалық модельдер
2. Сандық әдістер.

1. Математикалық модельдер

Математикалық модельге негізгі талап – қарастырылатын құбылысқа пара-парлық (адекватность), яғни ол құбылыстың тәндік сипатын жеткілікті түрде дәл (мүмкін қателіктер шегінде) бейнелеуі тиіс. Сонымен бірге ол зерттеудің салыстырмалы қарапайым және қол жету мүмкіндігін иеленуі тиіс.

Ғылым және техниканың әртүрлі салаларының дамуына өте үлкен әсер еткен, кейбір математикалық модельдер мысалын қарастырайық. Математикалық модельді құру кезінде кейбір математикалық қатынастарды (әдетте, теңдеулер) алады.

Мысал. уақыттың бастапқы сәтінде, биіктігінде тұрған, дене бастапқы жылдамдықпен вертикаль төмен қозғала бастайды. Дене қозғалысының заңын табу талап етіледі, яғни математикалық модель құру керек, ол берілген есепті математикалық сипаттауға және кезкелген уақыт сәтіндегі қозғалыс параметрлерін анықтауға мүмкіндік беруі тиіс.

Көрсетілген модельді құрмас бұрын, егер олар берілмесе, кейбір мүмкіндіктерді қабылдау керек. Атап айтқанда, берілген дене формасы шарға жуық, ауа тығыздығынан едәуір асатын, орташа тығыздыққа ие болады деп болжайық. Бұл жағдайда ауа кедергісін елемеуге және дененің еркін құлауын үдеуін есепке алып қарастыруға болады. кезкелген уақыт сәтіндегі жылдамдығы үшін сәйкес қатынастар физиканың мектеп курсынан жақсы белгілі. Олар мына түрге ие болады:

(1)

Бұл формулалар дененің еркін түсуінің ізделіп отырған математикалық моделі болып табылады. Берілген модельдің қолдану аумағы жағдайлармен шектелген, оларда ауа кедергісін елемеуге болады.

1. Сандық әдістер.

Математикалық модельдеу көмегімен ғылыми-техникалық есептерді шешу, оның моделі болып табылатын, математикалық есепті шешуге тіреледі. Математикалық есептерді шешу үшін келесі әдістердің негізгі топтары қолданылады: аналитикалық, графикалық және сандық.

Аналитикалық әдістерді қолдану кезінде есепті шешуді формула көмегімен өрнектеуге тура келеді. Атап айтқанда, егер математикалық есеп қарапайым алгебралық немесе трансценденттік теңдеулер, дифференциалдық теңдеулер және т.б. шешуден тұрса, онда математика курсынан белгілі тәсілдерді қолдану мақсатқа бірден әкеледі. Өкінішке орай, тәжірибеде ол өте сирек болады.

Графикалық әдістер бірқатар жағдайда ізделіп отырған шаманың ретін бағалауға мүмкіндік береді. Осы әдістердің негізгі идеялары, шешім геометриялық құру жолымен алынатындығынан тұрады. Мысалы, теңдеуінің түбірін табу үшін функциясының графигі құрылады, оның абсцисса осімен қиылысуы ізделіп отырған түбірлер болады.

Дәріс №3. Тақырып: ЕСЕПТЕУ ТӘЖІРИБЕСІНІҢ ДӘЛДІГІ. ЖУЫҚ САНДАР.

Сабақ жоспары:

1. Жылжымалы нүктемен сандар.
2. Қателік түсінігі

1. Жылжымалы нүктемен сандар. Сандар компьютер жадысында түрлі тәсілде көрсетілуі мүмкін. Қазіргі заманғы компьютерлер (процессорлар) бүтін, сонымен қатар жылжымалы нүктемен түрінде бөлшек сандарды өңдеуге мүмкіндік береді.

Бүтін сандардың жиыны шексіз екендігі белгілі. Алайда процессор оның разрядтық торының шектеулігінен тек осы жиынның кейбір шекті жиындарымен амалдарды орындай алады. Қазіргі заманға компьютерлерде бүтін сандарды сақтау үшін әдетте жадтан 4 байт орын бөлінеді, ол шамамен -2 - ден 2 дейінгі аралықта орналасқан бүтін сандарды көрсете алады.

Ғылми-техникалық есептерді шешу барысында негізінен нақты сандар қолданылады. Компьютерде олар жылжымалы нүкте түрінде көрсетіледі. Жазудың осы түрінде D ондық саны D = ±m • 10ⁿ түріне ие болады, мұндағы m және n – сәйкес санның мантиссасы және оның реті. Мысалы, -273.9 санын -2739 • 10^-1 , -2.739 • 10², -0.2739 • 10³ түрінде жазуға болады. Соңғы жазу – жылжымалы нүктемен санның қалыптасқан түрі. Осындай түрде, егер сан мантиссасын түрінде көрсетсек, онда болғанда жылжымалы нүктемен санның қалыптасқан түрін аламыз.

Қазіргі заманғы программалау тілдерінде деректердің типтері бүтін және бөлшек сандарға алдын ала анықталып кеткен. Мысалға Си тілінде float және double типтері, Паскаль тілінде single және double, Фортран тілінде real және double precision. Әдетте бұл берілулуер IEEE 754 (США) стандартына сәйкес келеді.

Осылайша компьютер нақты сандардың жуық мәндерімен амалдарды орындайды. Жуық сандардың дәлдік өлшемі қателік болып табылады.

1. Қателік түсінігі

Қателікті екі түрге бөледі - абсолюттік және қатынастық. Кей сандардың абсолюттік қателігі есептеу және өлшеу нәтижесінде алынған, оның тура мәні және жуық мәнінің айырмасына тең. Қатынастық қателік – бұл абсолюттік қателіктнің санның жуық мәнінәң қатынасына тең.

Осындай түрде, егер - х санының жуық мәні болса, онда абсолюттік және қатынастық қателік үшін өрнек сәйкес мына түрде жазылады:

Өкінішке орай х шамасының шын мәні әдетте белгісіз болады. Сондықтан жоғарыда келтірілген қателіктер үшін өрнек дерлік қолданылмайды. Тек жуық мәні ғана бар және абсолют қателік модулінің жоғары бағасы болып табылатын, оның шектік қателігін табу керек, яғни . Әріде мәні жуық санының абсолюттік қателігі ретінде қабылданады. Бұл жағдайда х шын мәні аралығында табылады.

Дөңгелектеу нәтижесінде алынған жуық сан үшін, абсолют қателік санның сонғы разрядының бірлігінің жартысына тең болады. Мысалы, = 0.734 мәні 0.73441, 0.73353 және басқа сандарды дөңгелектеумен алынуы мүмкін. Сонымен бірге және = 0.0005 пайымдаймыз.

жуық шамасының кейбір мәндерінде абсолюттік қателікті бағалау мысалдары келтірейік:

Дәріс №4. Тақырып: ЕСЕПТЕУ ТӘЖІРИБЕСІНІҢ ДӘЛДІГІ. ЖУЫҚ САНДАР

Сабақ жоспары:

1. Жуық сандармен әрекет.

1. Жуық сандармен жасалынатын әрекеттер.

Сандарды қосу немесе азайту кезінде олардың абсолюттік қателері қосылады. Сандарды бір-біріне көбейту немесе бөлу кезінде олардың қатынастық қателіктері қосылады. Жуық санды дәрежеге шығарғанда оның абсолюттік қателігі дәреже көрсеткішіне көбейтіледі.

Екі а және b жуық сандар жағдайы үшін осы ережелерді мына формула түрінде жазуға болады.

(3)

Шынында, > 0, b > 0, m = min(), M = max() болсын делік. Онда:

Сол сияқты . Тәжірибеде қателікті бағалау үшін М ең үлкен мәні алынады.

Мысал 1. Функцияның қатынастық қателігін табу керек:

(1,3) формуласын қолдана отырып, аламыз:

Қатынастық қателіктің алынған бағасы бөлімінде |1 — х| мәнінен тұрады. болған жағдайда өте үлкен қателік алу мүмкіндігі айқын

Дәріс №5. Тақырыбы: ЕСЕПТЕУ ТӘЖІРИБЕСІНІҢ ДӘЛДІГІ. ЕСЕПТЕУ ҚАТЕЛІКТЕРІ.

Сабақ жоспары:

1. Қателіктер көздері
2. Қателіктерді азайту

1. Қателіктер көздері. Компьютерде есепті шешудің кейбір кезеңдерінде есептеу нәтижесін бұрмалайтын қателіктер туындауы мүмкін. Алынатын нәтижелердің ақиқаттылық дәрежесін бағалау есептеу жұмыстарын ұйымдастырудағы ең маңызды сұрақтардың бірі болып табылады. Бұл әсіресе салыстыру үшін алынатын тәжірибелік немесе басқа деректердің болмаған кезінде маңызды, ол қалайда қолданылатын сандық әдістің сенімділігін және алынатын нәтижелердің ақиқаттылығын көрсете алар еді.

Қателіктердің шығу көздерін есепті шешудің жеке кезеңдерінде қарастырайық.

Егер қарастырылып отырған есептің қандай да бір маңызды белгілері ескерілмеген болса, берілген үрдісті немесе құбылысты сипаттау үшін қабылданған математикалық модель маңызды қателіктер енгізуі мүмкін. Атап айтқанда, математикалық модель бір жағдайда тамаша жұмыс істеп және басқа жағдайда мүлдем жарамауы мүмкін; сондықтан оның қолданылатын аумағын дұрыс есепке алу маңызды.

Есептің бастапқы деректері қателіктердің негізгі көзі болып табылады. Математикалық модельмен кірген, қателіктермен бірге, оларды жойылмайтын қателіктер деп атайды, себебі олар есептеуішпен не есепті шешу алдында, не оны шешу үдерісі кезіндеде азайтылуы мүмкін емес. Алдыда жүргізілген арифметикалық амалдарды орындау кезіндегі қателіктер бағасын талдау, барлық бастапқы деректер шамамен бірдей дәлдікте болуына ұмтылу керектігін көрсетеді. Басқасында үлкен қателердің болуы кезінде тек бастапқы деректерді күшті дәлдеу, әдетте, нәтиже дәлдігін арттыруға әкелмейді.

Сол сияқты сандық әдіс қателік көзі болып табылады. Бұл, мысалы, интегралды қосындымен алмастырғанда, функция мәндерін есептеу кезінде қатарларды кесумен, кестелік деректерді интерполяциялаумен және т.б. байланысты. Шындығында, сандық әдіс қателігін реттеуге болады, яғни теориялық ол кейбір параметрді өзгерту жолымен кез келген мәнге дейін азайтылуы мүмкін (мысалы, интегралдау қадамы, кесілген қатар мүшелерінің санын). Әдетте әдіс қателігін жойылмайтын қателіктен бірнеше рет аз, шамаға дейін жеткізуге тырысады. Қателікті әрі қарай азайту нәтиже дәлдігін арттыруға әкелмейді, тек есептеу көлемін негізсіз арттыру себепті есептеу құнын өсіреді. Әдістер қателігін толығырақ нақты сандық әдістерді талдау кезінде қарастыратын боламыз.

Компьтер көмегімен есептеу кезінде машинаның разрядтық торының шектеулігімен байланысты, дөңгелектеу қателіктері болады. Кәдімгі дөңгелектеу кезінде (ол, компьтерде жүзеге асырылады) максимальды салыстырмалы қателік:

(5)

мұндағы - a - санау жүйесінің негізі, k — сан мантиссасының разрядтарының саны. Қарапайым артық разрядтарды алып тастағанда бұл қателік екі есе өседі.

(5) формула бойынша IEEE 754 стандартының бірлік және екілік дәлдікпен форматында көрсетілген, сандар үшін максимальды дөңгелектеу қателігін есептейік. Аламыз: екі жағдайда да , бірлік дәлдік үшін k = 24 және , екілік дәлдік үшін k = 53 және .

Үлкен есептерді шешу кезінде миллиард және триллион амалдар орындалатындығына қарамастан, бұл бір дөңгелектеу кезінде қателікті амалдар санына механикалық көбейтуді білдірмейді, себебі жеке әрекеттер кезінде қателіктер бір-бірінің орынын толтыруы мүмкін (мысалы, әртүрлі таңбалы сандарды қосқанда). Сонымен бірге кейде дөігелектеу қателігі жаман ұйымдастырылған алгоритммен үйлесіп нәтижені қатты бұрмалауы мүмкін. Әріде біз осындай жағдайларды қарастырамыз.

Сандарды бір санау жүйесінен екінші санау жүйесіне аудару сол сияқты, бір санау жүйесінің негізі басқа жүйе негізінің дәрежесі болып табылмайтындығы себепті қателік көзі болуы мүмкін (мысалы, 10 және 2). Бұл санның жаңа санау жүйесінде иррационал болып шығуына әкелуі мүмкін.

Мысалы, 0.1 санын екілік санау жүйесіне аударғанда 0.000 1100 1100... түрді қабылдайды. Есептеу кезінде 0.1 қадамымен х = 1 -ден х = 0 дейін [0,1] кесіндісін өту керек; он қадам х = 0 дәл мәнін бермейді.

1. Қателіктерді азайту. Арифметикалық амалдар нәтижесінің қателіктерін қарастырғанда, жуық сандарды азайту салыстырмалы қателіктердің көбеюіне алып келетіндігі белгіленді; сондықтан алгоритмдерде осындай жағдайлардан қашқан дұрыс. Сол сияқты есептеуді дұрыс ұйымдастырғанда дәлдікті жоғалтудан қашуға болатын, кейбір басқа жағдайларды қарастырайық.

Бес төртразрядты сандар қосындысын табу талап етілсін делік: S = 0.2764 + 0.3944 + 1.475 + 26.46 + 1364. Барлық осы сандарды қосып, одан соң алынған нәтижені төрт мағыналы цифрға дейін дөңгелектеп, S = = 1393 аламыз. Бірақ есептеу кезінде компьютерде дөңгелектеу әрбір қосындыдан кейін болады. Шартты түрде торды төрт разрядты деп болжап, ең кішісінен ең үлкеніне қарай сандар қосындысын компьютерде есептеуді бақылайық, яғни олардың жазылу тәртібінде: 0.2764 + 0.3944 = 0.6708, 0.6708 + 1.475 = 2.156, 2.156 + 26.46 = 28.62, 28.62 + 1364 = 1393; S₁ = 1393 алдық, яғни дұрыс нәтиже. Енді есептеу тәртібн өзгертейік және сандарды тізбекті түрде соңғысынан біріншісіне қарай қосып бастайық: 1364+26.46 = 1390, 1390 + 1.475 = 1391, 1391+0.3944 = 1391, 1391 + 0.2764 = 1391; мұнда соңғы нәтиже 1391, оның дәлдігі аз.

Есептеу үдерісін талдау, мұнда дәлдікті жоғалту, үлкен санға кіші сандарды қосу жүргізілмейтіндігі себебінен болатындығын көрсетеді, себебі олар разрядтық тор шегінен шығып кетеді (мысалы, кезінде болады). Осы кіші сандар өте көп болуы мүмкін, бірақ нәтижеге олар бәрібір әсер етпейді, себебі бір-бірден қосылады, ол S₂ есептеу кезінде орын алды. Мұнда ережені ұстану қажет, оған сәйкес сандарды қосуды олардың өсу шамасы бойынша жүргізу керек. Машиналық арифметикада дөңгелектеу қателігінен амалдардың орындалу тәртібі маңызды, және алгебрадан белгілі коммутативтік (дистрибутивтік) заңдар мұнда әрқашан орындала бермейді.

Компьютерде есепті шешу кезінде алгоритмді жақсарту және нәтиже қателігін азайту үшін осыған ұқсас аздаған қулықты қолдану керек. Мысалы, компьютерде (а + х)² мәнін есептеу кезінде х шамасы, а+х қосындысының нәтижесі а шығатындай болуы мүмкін ( болуы кезінде); бұл жағдайда (а + х)²= а² + 2ах + х² = а(а + 2х) + х² ауыстыру көмектесуі мүмкін. Шындығында, енді а –ға х емес, 2 х қосылады. Егер кезінде (а + х)² - а² шамасы есептелсе, онда, жуық шамаларды азайтудан қаша отырып, оны 2ах + х² түріне келтіру мақсатқа лайық.

Тағы бір маңызды мысалды қарастырайық – функция мәндерін есептеуге арналған қатарларды қолдану. Мысалы, sin х функциясын аргумент дәрежелері бойынша жіктеуді жазалық:

Лейбниц белгісі бойынша жинақталатын ауыспалы таңбалы қатардың қалдығы, яғни мүшелердің аяқталатын санының қосындысының қателігі, алынып тасталған мүшелердің ішінен біріншісінің мәнінен аспайды (абсолюттік шамасы бойынша).

sin 0.5236 = 0.5236 - 0.2392 * 10^-1 + 0.3279 • 10^-3 = 0.500

аламыз. Бұл қабылданған дәлдік шегінде тамаша нәтиже. Жоғарғы математика курсынан, бұл синусты жіктеу аргументтің кез келген мәнінде дұрыс екендігін біле отырып, оны х = 6.807 (390°) кезінде функцияны есептеу үшін қолданамыз. Есептеуді жібере отырып, sin 6.807» 0.5167 аламыз.

Мұнда салыстырмалы қателік шамамен 3% құрайды (Лейбниц белгісі бойынша 0.01% мәнінің орынына). Бұл дөңгелектеу қателігімен және қатарды қосу тәсілімен түсіндіріледі (мүшелер шамасын есепке алмағанда, солдан оңға қарай).

Есептеудің жоғарытылған дәлдігі әрқашан көмектесе бермейді. Атап айтқанда, берілген қатар үшін х = 25.6563... (1470° = 4 • 360° +30°) кезінде тіпті 10^-8 дейін қатар мүшелерін есепке алған кезде және сегіз мәнді цифрмен есептегенде, сол сияқты есептеу нәтижесінде (солдан оңға қарай қосқанда) мағынасы жоқ нәтиже алынады: .

Дәрежелік қатарларды қолданатын, бағдарламаларда функция мәнін есептеу үшін, сол сияқты дәлдікті жоғалтуды болдырмау бойынша әртүрлі шаралар қабылдануы мүмкін. Солай, егер |x|˂1 болса, дөңгелектеу қателігінің әсері едәуір азаяды. Шындығында, х^k есептеген кезде келесі абсолюттік қателік рұқсат етіледі:

∆(x^k)= x^kδ(x^k)= x^kkδx

(3 қараңыз), ол теңсіздігі орындалмаған кезде жарамсыз үлкен болуы мүмкін. Тригонометриялық формулалар үшін келтіру формулаларын қолдануға болады, оның арқасында аргумент [0, 1] кесіндісінде болады. Экспонентаны есептеген кезде х аргументін бүтін және бөлшек бөліктер қосындысына бөлуге болады (е^х = е^n+a = еⁿ • е^а, 0 < а < 1) және қатарға жіктеуді тек е^а үшін қолданып, ал еⁿ көбейтумен есептеу керек. Осындай түрде, есептеуді ұйымдастырған кезде дәлдікті жоғалтуды беретін, «су астындағы тастарды» өз уақытында тануға болады.

Дәріс №6. Тақырыбы: ЕСЕПТЕУ ТӘЖІРИБЕСІНІҢ ДӘЛДІГІ. ЕСЕПТЕУ ҚАТЕЛІКТЕРІ

Сабақ жоспары:

1. Квадраттық теңдеуді шешу туралы

1. Квадраттық теңдеуді шешу

Бізкомпьютерде есептерді сандық шешу кезіндеесептеуішті әртүрлі «тұзақтар» күтіп тұрғандығын көрдік, олар нәтиже дәлдігінің байқалатындай жоғалуына немесе тіпті есептеуді тоқтатуға әкеледі. Осыны бейнелеудін жақсы жолы ах² + bх + с = 0 квадраттық теңдеуін шешу сияқты, осындай қарапайым есепті шешу алгоритмін талдау болып табылады. Олардың түбірлері келесі қатынастармен анықталады:

. (6)

Осы формулаларды талдаудан, мұнда бірқатар есептеу сипатындағы ерекшеліктер бар екендігі көрінеді, оларды алгоритмді құру кезінде ескеру керек.

а = 0 болғандағы қарапайым жағдайды қарастырайық. Мұнда теңдеу сызықтық болады, және егер болса, оның жалғыз түбірі х = -с/b болады.

Егер а = b = 0 және болғанда теңдеудің шешімі болмайды, ал а = b = с = 0 болғанда оның шешімі кез келген сан болады. Сондықтан коэфициенттерді нольмен емес, қандайда бір аз шамасымен салыстыру керек.

Бұл өз кезегінде коэффициенттер арасындағы қатынастарыдан тәуелді, бірқатар жағдайларды туғызады:

Ары қарай D дискримант таңбасынан тәуелді, алгоритмдердің тармақталуын қарастыру керек: D > 0 — түбірлер нақты сан (қарау керек. (1.6));

D = 0 — түбірлер тең: х₁ = х₂ = -b/(2а); D < 0 — түбірлер комплекс сандар:

.

Айқындығы аздау сұрақ теңдеу коэффициенттері арасындағы қатынастардан тәуелді қателіктердің пайда болу мүмкіндігі болып табылады.

b коэффициенті абсолюттік шамасы бойынша басқалардан едәуір асатын, маңызды жағдайлардың бірін қарастырайық. Бұл кезде және болғандықтан, (6) өрнегінің алымының бірінде жуық сандарды азайту қауіпі туындайды.

Жағдайды әртүрлі жолмен түзетуге болады: Мысалы, b > 0 болғанда х ₂ үшін формуланы келесі түрде түрлендіруге болады:

b < 0 болғанда х₁ үшін формуланы осыған ұқсас тәсілмен жазуға болады.

Әмбебап тәсіл sign b («b шамасының таңбасы») мәнін қолдану болып табылады:

(7)

Онда түбірлердің бірі мына формула бойынша есептеледі:

(8)

Екінші түбір мәнін есептеуге арналған өрнекті Виет теоремасы көмегімен алуға болады. қатынасынан шығатыны:

(9)

1 және 2 суреттерде осында қарастырылған ерекшеліктерді есепке алып квадраттық теңдеуді шешу алгоритмінің нұсқаларының бірінің блок-схемасы (салыстыру үшін) және структурограммасы көрсетілген. D >0 болғанда түбір мәндері (8), (9) формулалары бойынша есептеледі. Келтірілген алгоритм структограммасында есептеу қиындықтарының мүмкін жағдайларының барлығы қарастырылмаған, олар квадраттық теңдеуді шешу кезінде кездесуі мүмкін.

Осы алгоритмді компьютерде жүзеге асыру мүмкін емес болғандағы, кейбір мысалдарды келтіруге болады. Есептеу екілік дәлдікпен жүргізіледі деп болжаймыз.

Мысал 1. а = 10^-200, b = -3 • 10^-200, с = 2 • 10^-200. b² және 4ас көбейтуді есептеу кезінде машиналық нөл алынады, яғни D = 0; шешім тең түбірлер тармағы бойынша жүреді: х₁ = x₂ = 1.5. Түбірдің дәл мәндері х₁ = 1, x₂ = 2 тең екендігін көру қиын емес.

Сурет. 1. Квадраттық теңдеуді шешудің структурограммасы

Сурет. 2. Квадраттық теңдеуді шешу алгоритмінің блок-схемасы

Мысал 2. а = 10²⁰⁰, b = -3 • 10²⁰⁰, с = 2 • 10^-200. Бұл нұсқа алдыңғы жағдайға машиналық нөлді алу орынына асып кету және санаудың үзілуі болатын, тек сондай айырмашылықпен ұқсас.

Мысал 3. а = 10^-200, b = 10²⁰⁰, с = -10²⁰⁰. Бұл компьютерде жүзеге асыру үшін қиын жағдай. Тәжірибелік есептеуде х² -тың аз коэффициентімен теңдеулер кездеседі. Бұл жағдайда , бірақ b² есептеу кезінде асып кету болады. Осы жағдайдан шығудың ең қарапайым жолы басқа коэффициенттерді міндетті түрде тексерумен а = 0 жағдайына келтіру болуы мүмкін.

Осы түрде, квадраттық теңдеуді шешу сияқты, тіпті осындай есепті талдау, сандық алгоритмді қолдану кейбір қиындықтармен түйісуі мүмкін екендігін көрсетеді.

Дәріс №7. Тақырыбы: ЕСЕПТЕУ ТӘЖІРИБЕСІНІҢ ДӘЛДІГІ. ТӨЗІМДІЛІК. ДҰРЫСТЫҚ. ЖИНАҚТЫЛЫҚ

Сабақ жоспары:

1. Төзімділік
2. Дұрыстық
3. Әдістердің төзімсіздігі

1. Төзімділік. Шығыс деректерінің қателіктерін қарастырайық. Олар жойылмайтын қателік болғандықтан және есептеуіш олармен күре алмайтын болғандықтан, соңгы мәннің нақтылығы жөнінде ақпаратты білу керек.

Уилкинсон мысалын қарастырайық:

Р(х) = (х- 1)(х - 2)... (х - 20) = х²⁰ – 210x¹⁹ +...

Бұл көп мүшенің түбірі х₁ = 1, х₂ = 2,..., x₂₀= 20 болатыны анық. Көп мүшенің бір коэфициенті кішкене қателікпен есептелді делік. Мысалға, х¹⁹ болған кезде коэфициенті —210, оны 10^-7 – ге көбейтеміз. Енді осы сандардың үш санға деиін домалақтауын көрейік:

Осылайша коэфициенттің х¹⁹ с -210 до -210 + 10^-7 болған кезіндегі мәні соңғы түбірлердің комплекстік болуына әкелді.

2. Дұрыстық

Егер берілген тапсырманың кейбір кластар үшін шығыз деректер үшін нақ және жалғыз мәні болса онда тапсырманы корректілі қойылған тапсырма деп атаймыз.

Төзімсіз есеп – дұрыс қойылмаған есеп ретінде қарастырылады. Мұндай есептерге сандық әдіс қолданылмайды.

3.Әдістердің төзімсіздігі.

Кейде дұрыс қойылған тапсырманы шешу барысында оның шешілу әдісі тұрақсыз болуы мүмкін. Интегралды шешудің сандық әдісін қарастырыйық:

Бөлшек бойынша интегралдай отырып, табамыз:

Дәріс №8. Тақырыбы: ЕСЕПТЕУ ТӘЖІРИБЕСІНІҢ ДӘЛДІГІ. ТӨЗІМДІЛІК. ДҰРЫСТЫҚ. ЖИНАҚТЫЛЫҚ

Сабақ жоспары:

1. Жинақтылық түсінігі

Есептеу үдерісінің дәлдігін таңдау кезінде ең маңызды шарттардың бірі сандық әдістің жинақтылығы болып табылады. Ол есептің сандық шешімінің нақты шешімге жуықтығын білдіреді. Жуықтаудың әртүрлі бағалауларын қатаң анықтау тек функционалдық талдау аппаратын кірістірумен берілуі мүмкін. Мұнда біз алдағы материалды түсіну үшін қажетті, жинақтылықтың кейбір түсініктерімен шектелеміз.

Итерациялық үдерістің жинақтылығы түсінігін қарастырайық. Бұл үдеріс қандайда бір есепті шығару және анықталатын параметрдің ізделіп отырған мәнін табу үшін тізбектеп жуықтау. әдісі құрылады. Осы үдерісті көп ретті қайталау нәтижесінде мәндерінің тізбегін аламыз. Осы тізбек және дәл шешіміне жинақталады деп айтады, егер итерация санының шексіз өсуі кезінде осы тізбектің шегі бар және және тең болса: . Бұл жағдайда жинақталатын сандық әдіске ие боламыз.

Жинақтылық түсінігінің басқа көзқарасы дискреттеу әдістерінде қолданылады. Бұл әдістер үздіксіз параметрлерімен есептерді, функция мәндері бекітілген нүктелерде есептелетін есепке ауыстырылатындығымен қорытындалады. Бұл, атап айтқанда, сандық интегралдауға, дифференциалдық теңдеулерді шешуге және т.б. қатысты. Мұнда әдістің жинақтылығы деп есептің дискреттік моделінің шешім мәндерінің, дискреттеу парметрлері (мысалы, интегралдау қадамы) нөлге ұмтылған кездегі бастапқы есеп шешімінің сәйкес мәндеріне ұмтылуы түсініледі.

Жинақтылықты қарастырғанда маңызды түсініктер оның түрі, реті және басқа сипаттамалары болып табылады.

Осындай түрде, қажетті дәлдікпен есеп шешімін алу үшін оның қойылымы дұрыс болуы тиіс, ал қолданылатын сандық әдіс төзімділікке (дұрыстыққа) және жинақтылыққа ие болуы тиіс.

Дәріс №9. Тақырыбы: ФУНКЦИЯНЫ АППРОКСИМАЦИЯЛАУ. ФУНКЦИЯНЫ ЖУЫҚТАУ ТУРАЛЫ ТҮСІНІК.

Сабақ жоспары:

1. Есептің қойылымы

2. Нүктелік аппроксимация

1. Есептің қойылымы. Айталық, y өлшемі x аргументінің функциясы болсын. Бұл дегеніміз, анықтау облысындағы x тің кез келген мәніне сәйкесінше y - тің мәні қойылған.

Сонымен қатар, іс тәжірибе жүзінде x пен y арасындағы байланыстың айқын болмауы жиі кездеседі, яғни оны у = f(x) тәуелділігі арқылы өрнектеуге мүмкін емес.

Тіпті кейде барлығына белгілі у = f(x) тәуелділігінің өзі күрделі интеграл, күрделі есептелінетін өрнектер түрінде болған кезде практикалық есептеулерде ұзақ уақыт алады.

Х пен У параметрлері арасындағы байланыс белгісіз болған жағдайда, осындай байланысқа тапсырма {x_i,y_i} түріндегі кесте арқылы беріледі, мұндай жағдайлар практикада кеңінен таралған.

Дискреттік жиынның { x_i } аргументінің мәніне сәйкесінше жиынның мәні {y_i} (i = 0,1,..., п) болатындай шама бекітіледі.

Бұл мәндер есептеулердің нәтижесі немесе эксперименттік берілулер.

Тәжірибе жүзінде бізге У өлшемінің басқа нүктелердегі мәні керек болады. Бірақ мұндай мәндерді өте күрделі есептеулер жүргізу арқылы алынады.

Көпмүшелік функциясының аппроксимациясы практикада маңызды рөл атқарады.

(1)

2. Нүктелік аппроксимация.

Нүктелік аппроксимациясының ең негізгі түрі интерполданған болып табылады.

Ол келесілерден тұрады: у = f(x) берілген функциясына интерполданған функциясын тұрғызамыз.

(мысалы,берілген нүктеде x_i, және сәйкесінше y _i мәнін қабылдайтын f(x) функциясы (1) көпмүшесі), яғни

, i = 0,1,..., n. (2)

x_i мәндерінің арасында бірдей мән болмайды, яғни кезде . x_i нүктелері интерполяцияның түйіндері деп аталады.

Сонымен, интерполярланған функцияның маңайы (1 сурет, біркелкі сызық)

Сурет 1. Интерполяция және аппроксимация

(2) теңдеулер жүйесінің көпмүшелік ретінде қолданылуы сызықтық алгебралық теңдеулерге қатысты коэффиценттер а₀, а₁,..., а_n және мынадай түрде болады:

(4)

Дәріс №10. Тақырыбы: ФУНКЦИЯНЫ АППРОКСИМАЦИЯЛАУ. ФУНКЦИЯНЫ ЖУЫҚТАУ ТУРАЛЫ ТҮСІНІК.

Сабақ жоспары:

1. Үздіксіз аппроксимация

2. Көпмүшелікті есептеу

1. Үздіксіз аппроксимация. Теңөлшемді жуықтау. Көптеген жағдайда, әсіресе тәжірибелік деректерді өдеу кезінде, орташаквадраттық жуықтау толығымен жарамды, себебі ол функциясының кейбір дәлсіздігін тегістейді және ол туралы жеткілікті түрде дұрыс көрініс береді. Кейде, бірақ, жуықтауды салған кезде қатаң шарт қойылады: [a,b] қандайда бір кесіндісінің барлық нүктелерінде функциясынан аппроксимациялаушы функциясының ауытқуы абсолют шамасы бойынша берілген шамасынан аз болуы талап етіледі:

Бұл жағдайда, функциясы функциясын [a,b] кесіндісінде дәлдікпен теңөлшемді жуықтатады деп айтады.

Теңөлшемді жуықтау түсінігі үздіксіз жиында - [a,b] кесіндісінде берілген және аппроксимациялайтын функцияларды салыстыруды болжайды. Сондықтан теңөлшемді жуықтау үздіксіз аппроксимациялауға жатады.

[a,b] кесіндісінде функциясынан функциясының абсолюттік ауытқуы түсінігін енгізейік. Ол берілген кесіндідегі олардың арасындағы айырымның абсолюттік шамасының максимал мәніне тең:

(5)

Ұқсастығы жағынан функцияның орташаквадраттық жуықтауы кезінде орта квадраттық ауытқушылық ұғымын енгізуге болады. 2 суретте екі қарастырылатын жуықтаудың ұстанымдық айырмашылығы көрсетілген.

Сурет 2. Жуықтаулар: орташаквадратты (а); теңөлшемді (б)

2. Көпмүшелікті есептеу. Функцияны аппроксимациялау кезінде, сонымен қатар кейбір басқа есептерде көпмүшеліктер түрін есептеуге болады:

(6)

Егер «маңдайдан» есептеу жүргізсек, яғни әрбір мүшенің мәнін тауып және оларды қоссақ, онда үлкен n кезінде амалдардың көп санын (n²+ n/2 көбейтулер және n қосулар ) орындауға тура келеді. Одан басқа, бұл дөңгелектеу қателіктері есебінен дәлдікті азайтуға әкелуі мүмкін. Кейбір жеке жағдайларда әрбір келесі санды алдыңғымен өрнектеуге болады және осы түрде есептеу көлемін едәуір қысқартуға болады.

(6) көпмүшелікті талдау жалпы жағдайда, әрбір мүшедегі х дәрежеге шығаруды жою үшін көпмүшелікті мына түрде қайта жазудың мақсатқа лайықтығына әкеледі:

Оның көмегімен көпмшелікті осындай түрде көрсету тәсілі Горнер схемасы деп аталады.

Дәріс №11. Тақырыбы: ФУНКЦИЯНЫ АППРОКСИМАЦИЯЛАУ. ҚАТАРЛАРДЫ ҚОЛДАНУ.

Сабақ жоспары:

Дата добавления: 2015-07-15