Средние величины.

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в социально-экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собойобобщенную количественную характеристику признания в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из выражающих признаков.

Важнейшее свойство средней заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Средняя величина будет типичной только тогда, когда она будет рассчитана по качественно однородной совокупности.

Например используя для расчета средние величины доходов: служащих государственных, совместных предприятий, наука, культура и т.п., является крайне неоднородной.

В этом и других случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность не однородна – общее среднее должны быть занесены или дополнены групповыми средними, т.е. средними, рассчитанными по по качественно однородным группам.

Виды средних и методы их расчета.

В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений и поэтому для их решения требуются различные средние.

Математическая статистика выводит различные средние из формул степенной средней:

= =

При Z = 1 ср. арифметическая

Z = 0 ср. геометрическая

Z =-1 ср. гармоническая

Z =2 ср. квадратическая

Однако вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности введем следующие понятия:

1 признак по которому находится средняя называется осредняемым признаком ()

2 величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности называется индивидуальным значением осредняемого признака или вариантами (х; х2; х3….хn)

3 Чаcтота – это повторяемость индивидуальных значений признака (f)

Средняя арифметическая – распространенная. Она исчисляется в тех случаях, когда объем определяемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется следующим образом:

1 Н-р Найти средний стаж работы 10 работников: 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4, т.е. даны одиночные значения

= =(6+5+4+3+3+4+5+4+5+4)/10 = 43/10 = 4,3года

2 Когда значение признака встречается несколько раз.

Средня взвешенная арифметическая

= или =

Пример расчета

Взвешенная дискретная	Взвешенная интервальная
Оценки, получаемые на экзамене по математике	Число неявок на занятия
оценки	Кол-во студентов	Группы по числу неявок	Число студентов
		интервальный	дискретный
До5 6-10 11-15 16-20 >20	8-5=3
Итого:		Итого:

= (2*1+3*2+4*10+5*7)/20=83/20 = 4.15

=3*3+8*8+13*5+18*3+23/20 = 215/20=10.75

Свойства средней арифметической

П-р Продажа акций АО «Дока хлеб» на торгах фондовой секции ТБМ «Гермес»

Сумма	Кол-во проданных акций, шт.	Курс продажи, руб.

1 средняя арифметическая из постоянных чисел равна этому постоянному числу

Если х = а. Тогда =

2 Если веса всех вариантов пропорционально изменить, т.е. увеличить или уменьшить в одно Ито же число, то нового ряда от этого не изменится.

Уменьшатся все f в к раз.

=

= 1112.89=1112.9

3 Сумма положительных и отрицательных отклонений отдельных вариантов от средней, умноженных на веса, равна 0, т.е.

из-за округления.

4 Если все варианты уменьшить или увеличить на какое- либо число, то среднее арифметическое нового ряда уменьшится или увеличится на столько же.

X¹ = x-a

Курс продажи увеличился в 1,5 раза, т.е. на 50%

5Если все варианты уменьшить или увеличить в к раз, то среднее арифметическое нового ряда уменьшится или увеличится во столько же, т.е. в к раз

Пусть

Отсюда в полтора раза

иногда роль частот при исчислении средней играет частота (w). Посчитаем частоты во втором примере

W, % 15; 40; 25; 15; 5;

Средняя гармоническая.

Это величина обратная средней арифметической, когда z=-1.

Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется средне гармоническая взвешенная.

Н-р, расчет средней цены

Средняя цена =

Город	Цена, руб. хi	реализации т.р.Wi	Частоты fi =
А
Б
В
Итого:

Известны:

1 реализации

2 Цена Найти: Кол-во реализованных единиц.

Неверный путь.

простая

Где - сумма обратных значений вариант

n – число вариант M=fx

Применение: для расчета некоторых индексов, в частности индекса цен.

Средняя геометрическая – это величина, используемая как средняя из отношений или в рядах распределения, представленных в виде геометрической прогрессии Z=0

т.е. прямой подставленной средняя не выводится.
n – число вариант

Пример

Доходы населения России представлены табл.

1985г.	244,7 млрд.
1986г	283,6 млрд.
1987г	264,3 млрд.
1988г	287,2 млрд.
1989г	324,6 млрд.
1990 г	384,7 млрд.

Рассчитать средне годовой доход населения

Решение

1 найдем цепные Тр

1985г

1986г 253,6/244,7 =1,04

1987г 264,3/253,6 =1,04

1988г 1,09

1989г 1,13

1990г 1,18

Этой средней удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разностям, а отношением двух чисел. Поэтому ср. геометрическая используется в расчетах ср. годовых темпов роста.

простая

взвешенная

где х – вариант осредняемого критерия

П – произведение вариантов

f – частота вариантов

Дата добавления: 2015-07-15