Дискретные случайные величины.

Случайные величины

Понятие случайной величины

Будем называть случайной величиной любую числовую величину, связанную со случайным экспериментом. Случайной она называется потому, что до эксперимента невозможно точно предсказать то значение, которое эта величина примет в результате эксперимента, – это выясняется только тогда, когда эксперимент завершен. Проводя эксперимент многократно, можно наблюдать за поведением случайной величины, фиксируя те значения, которые она будет принимать.

Пример: «Два кубика». Рассмотрим эксперимент с подбрасыванием двух кубиков. Он имеет 36 равновозможных исходов, каждый из которых можно закодировать парой чисел, выпавших на первом и втором кубиках. Введем следующие величины:

X – число очков на первом кубике;

Y – число очков на втором кубике;

S – сумма очков на двух кубиках;

М – максимальное из двух чисел на кубиках.

Значение любой из этих четырех величин связано с указанным экспериментом. Пусть, например, эксперимент завершился исходом (3; 2). Тогда перечисленные величины приняли следующие значения:

X = 3; Y =2; S = 5; M = 3.

При другом исходе эксперимента эти значения будут другими. Для каждого из 36 возможных исходов эксперимента можно точно указать значение каждой из перечисленных выше величин. В нашем опыте это удобно сделать с помощью таблиц. Вот так, например, будет выглядеть таблица значений случайной величины S, равной сумме значений на двух кубиках:

2-й кубик 1-й кубик

Таким образом, случайная величина представляет собой функцию, определенную на множестве всех возможных исходов эксперимента. Для каждого исхода случайная величина имеет вполне определенное (не случайное) значение. Но поскольку исход эксперимента заранее не известен, то и значение, которое примет эта величина в любом эксперименте, заранее неизвестно, случайно.

Закон распределения случайной величины.

Дискретные случайные величины.

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т.е. между двумя соседними возможными значениями нет других возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения x _i, а вторая – вероятности p _i:

Значение	x 1	x 2	…	x n
Вероятность	p 1	p 2	…	p n

Поскольку в законе распределения учитываются все возможные значения данной величины, то сумма соответствующих им вероятностей должна быть равна 1:

Пример: «Два кубика». Закон распределения случайной величины X (число очков на первом кубике):

Значение
Вероятность

Как видим, все значения, которые может принимать величина X, равновозможны. Такое распределение называется равномерным. Закон распределения случайной величины Y (число очков на втором кубике), очевидно, будет таким же. На этом примере мы видим, что у разных случайных величин законы распределений могут совпадать.

Закон распределения случайной величины S (сумма очков на двух кубиках):

Значение
Вероятность

Здесь значения имеют разную вероятность. Такой закон уже интересно изобразить с помощью графика, для чего в прямоугольной системе координат строят точки M (x ₁; p ₁), M (x ₂; p ₂), …, M (x _n; p _n) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Дата добавления: 2015-07-15