Расчет электрической цепи методом узловых уравнений

Для большей наглядности рассмотрим применение метода узловых уравнений для схемы (рис.3).

Задача №3. Найти значения токов в ветвях электрической схемы (рис.3), если известны значения ЭДС (Е) во всех ветвях Е1, Е2, Е3, Е4, Е5, Е6 и сопротивления (Z) в ветвях Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6.

Рисунок 3

Решение. Токи в ветвях найдем методом узловых уравнений. Действия можно описать алгоритмом:

1. Наметить и пронумеровать ветви и узлы.

2. Задать произвольно направление токов в ветвях.

3. Запишем исходные данные в форме вектора ЭДС Е и диагональной матрицы Z, причем количество строк вектора Е и количество строк и столбцов матрицы Z должно быть равно числу ветвей l схемы (если в l -й ветви нет источника ЭДС, то Е_l=0, когда направление ЭДС ветви противоположно выбранному направлению тока в ветви, в матрице Е она должна быть со знаком «-»).

4. Формирование матрицы инциденции М:

~ наметить и пронумеровать узлы. В приведенной на рис.3 схеме в узел нужно объединить несколько точек присоединения в равными потенциалами;

~ создать матрицу М_S, у которой количество строк m равно количеству узлов, а число столбцов l – количество ветвей схемы, А каждый элемент матрицы M_m.l подчиняется правилу:

, если l -я ветвь связана с m -м узлом и ток в ней направлен из узла;

, если l -я ветвь связана с m -м узлом и ток в ней направлен в узел;

, если l -я ветвь не связана с m -м узлом.

		Номера ветвей
Номер узла	I	-1	-1				-1
II
III			-1	-1	-1

~ выделенная часть таблицы и есть М_S. Из матрицы М_S получаем матрицу М, вычеркивая строку узла, принятого за нулевой. Выбор этого узла произволен. В нашем случае пусть это будет узел 3.

5. Вычисляем узловые проводимости .

6. Вычисляем узловые ЭДС .

7. Решение системы линейных уравнений относительно u. Для решения этой системы ниже применяется специальная функция MathCAD lsolve(Y,-Eu), которая возвращает вектор корней уравнений u.

8. .

9. Токи ветвей вычисляются по формуле .

Пример решения задачи для переменного тока

Принимаем нумерацию элементов массивов с 1.

Для этого вводим ORIGN:=1.

Исходные данные:

. Функция располагает вектор z по главной диагонали квадратной матрицы Z.

Расчет узловых ЭДС

- это стандартная функция MathCAD, находящая решение системы линейных уравнений вида .

Величины токов ветвей полностью совпадают с решением по методу контурных уравнений.

Дата добавления: 2015-07-15