Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

Читайте также:
  1. Ведение функциональных товаров в сознание
  2. Взаимодействие Электрических зарядов.
  3. Виды временных рядов.
  4. Восприятие функциональных признаков человека
  5. Диаграмма последовательностей (sequence diagram)
  6. Дифференцирование изображения
  7. Дифференцирование оригинала

Теорема. Пусть функции определены на отрезке [a;b] и имеют на этом отрезке конечные производные . Пусть, кроме того, функциональный ряд (функциональная последовательность сходится хотя бы в одной точке , а функциональный ряд , составленный из производных (функциональная последовательность , составленная из производных) равномерно сходится на отрезке [a;b]. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) функциональный ряд (функциональная последовательность равномерно сходится на отрезке [a;b];

2) его сумма (предельная функция последовательности) f(x) имеет конечную производную в каждой точке отрезка [a;b], выражаемую равенством

 

Доказательство. Зафиксировав номера n и m, рассмотрим функцию

Зафиксируем теперь произвольно малое число . В силу равномерной сходимости ряда, составленного из производных, найдется такой номер N0, что для всех номеров n>N0, для всех натуральных чисел m и для всех значений будет выполняться неравенство

Для таких номеров n и m, рассмотрим функцию

По теореме Лагранжа о конечных приращениях между точками x и x0 найдется точка , такая, что будет выполняться равенство

Но тогда по доказанному выше мы будем иметь:

Отсюда, согласно критерию Коши, следует равномерная на отрезке [ a;b ] сходимость функционального ряда

Отсюда уже и следуют оба утверждения теоремы.

Прежде всего пусть x0 – та самая точка, в которой сходится ряд . В силу доказанной равномерной сходимости функционального ряда а вместе с ним и функционального ряда получаем, что функциональный ряд сходится равномерно на отрезке [ a;b ]. Пусть f(x) – его сумма. Но тогда по теореме о почленном переходе к пределу для равномерно сходящегося функционального ряда получаем:

Теорема доказана.

 


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 231 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Теорема доказана. | Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости функционального ряда. | Почленный переход к пределу функциональной последовательности и функционального ряда. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Почленное интегрирование функциональных рядов и последовательностей| Равномерная сходимость функционального ряда

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)