Теорема доказана.

Учебно-методическое пособие

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.

Ляхов Л. Н. Мешков В.З. Половинкин И.П. Половинкина М.В. Попков А.В. Шишкина Э.Л.

Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ

__.__.201__, протокол №__.

Рецензент д.ф.-м. н., профессор Каменский: _________________.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета ПММ Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 1 курса дневного отделения факультета ПММ.

Для специальностей: 010200 – Прикладная математика и информатика,

010500 – Механика,

010503 – Математическое обеспечение и администрирование информационных систем

Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Критерий Коши о равномерной сходимости. Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда.

Объектами наших исследований будут функциональные последовательности, то есть последовательности функций , определенных на одном и том же множестве D, и функциональные ряды, то есть ряды вида , члены которых – функции , определенные на одном и том же множестве D.

Определение. Пусть функции (члены функционального ряда – функции ), n=1,2,…, определены на множестве D и пусть .

Если числовая последовательность (числовой ряд ) сходится, то говорят, функциональная последовательность (функциональный ряд ) сходится в точке . Если функциональная последовательность (функциональный ряд ) сходится в каждой точке к некоторому значению f(x), то говорят, что она (он) сходится к функции f(x) поточечно на множестве D. Функцию f(x) называют предельной функцией последовательности (суммой функционального ряда ).

При этом используются следующие записи:

.

Согласно определениям предела числовой последовательности и суммы числового ряда эти записи соответственно означают, что

- для функциональной последовательности

( - для функционального ряда).

Отметим, что номер в этих определениях подбирается после произвольного задания точки и сколь угодно малого числа , а поэтому зависит от х и e.

Пример 1. Найти предельную функцию f(x) функциональной последовательности на множестве [0,1].

Решение. Если , то а если то . Следовательно, предельная функция имеет вид

Пример 2. Найти предельную функцию f(x) функциональной последовательности на множестве .

Решение. Используя первый замечательный предел, который имеет вид , получим

Таким образом, предельная функция имеет вид .

Для нахождения области сходимости функционального ряда при фиксированном значении х можно использовать необходимый признак сходимости числового ряда, признаки сходимости знакоположительных числовых рядов (признаки Даламбера, Коши, интегральный и др.) и признак Лейбница для знакочередующихся рядов.

Пример 3. Определить область сходимости (абсолютной и условной) функционального ряда .

Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд , общий член которого имеет вид При фиксированном значении х применим признак Даламбера сходимости знакоположительного числового ряда

Таким образом, для сходимости этого ряда необходимо, чтобы . Решая это неравенство, получаем . Следовательно, ряд сходится абсолютно при .

Если , то и Получаем знакочередующийся ряд . Исследуем его на сходимоть, применяя признак Лейбница:

1. для всех натуральных n, т.е. модули членов исследуемого ряда образуют убывающую последовательность;

2. .

Все условия признака Лейбница выполнены, следовательно ряд сходится (сходится неабсолютно).

Поэтому исходный ряд сходится абсолютно при и условно при .

При ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости: общий член ряда не стремится к нулю при . Действительно, при получаем, что При фиксированном пусть Тогда имеем Последнее утверждение можно показать, например, по правилу Лопиталя:

Пример 4. Определить область сходимости (абсолютной и условной) функционального ряда

Решение. Функции определены при Для исследования ряда на абсолютную сходимость используем интегральный признак. При фиксированном х имеем

1. Функция неотрицательна. Неравенство

справедливо только когда p>0, поэтому функция убывает (по переменной у)на промежутке при p>0.

2. Интеграл

сходится абсолютно, если .

Таким образом, ряд сходится абсолютно при и ,

Исследуем ряд на условную сходимость, применяя признак Лейбница.

1. при .

2. при и , .

Следовательно, ряд сходится абсолютно при , , и условно при , , .

Определение. Говорят, что функциональная последовательность (функциональный ряд ) равномерно сходится на множестве D к функции f(x), если выполнено следующее условие:

для функциональной последовательности ( - для функционального ряда).

Если функциональная последовательность (функциональный ряд) сходится равномерно на множестве D, то используют следующие записи:

В этом определении существенно, что номер подбирается уже после задания числа и не зависит от точки .

Пусть - остаток функционального ряда порядка n. Тогда введенное в определении условие равномерной сходимости функционального ряда равносильно условию Это соображение будет использовано нами в дальнейшем.

Пример 5. Доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на множестве .

Решение. Общий член ряда имеет вид . Ипользуя формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии, найдем n -ю частичную сумму ряда и сумму ряда f(x):

Здесь мы учли, что так как . Подставив полученные результаты в определение равномерно сходящегося ряда, получим

,

поскольку . Следовательно, ряд сходится к своей сумме равномерно на отрезке :

.

Пример 6. Доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на множестве .

Решение. Заметив, что

найдем и f(x):

Теорема (критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда). Для того, чтобы функциональная последовательность (функциональный ряд ) равномерно сходилась (сходился) на множестве D, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие Коши:

- для функциональной последовательности

;

- для функционального ряда

Доказательство. Докажем сначала теорему для функциональной последовательности.

Необходимость. Пусть . Тогда по определению равномерной сходимости

Поскольку при также справедливо и неравенство , то будет выполняться и неравенство

Отсюда при получаем

то есть выполняется условие Коши.

Достаточность. Пусть выполнено условие Коши. Тогда для каждой точки числовая последовательность является фундаментальной, а значит, согласно критерию Коши сходимости числовой последовательности, сходится. Поэтому функциональная последовательность по крайней мере поточечно сходится к некоторой функции f(x) на множестве D. Докажем, что на самом деле эта сходимость является равномерной на множестве D. Запишем условие Коши в виде

Перейдем в этом неравенстве при каждом фиксированном номере и каждой фиксированной точке к пределу при . Учитывая, что , по теореме о переходе к пределу в неравенствах получим:

Это и означает равномерную сходимость последовательности к функции f(x) на множестве D.

В случае функциональных рядов достаточно заметить, что для частичных сумм справедливо следующее тождество на множестве D:

Далее можно применить доказанное утверждение для функциональных последовательностей.

Теорема доказана.

Приведем примеры использования критерия Коши для исследования равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.

Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности в терминах супремума модуля разности между членами последовательности и предельной функцией. Критерий равномерной сходимости функционального ряда в терминах супремума модуля остатка.

Докажем критерии равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов, непосредственно вытекающие из определения равномерной сходимости.

Теорема. Для того, чтобы последовательность функций , определенных на множестве D, равномерно на множестве D сходилась к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие:

Доказательство. Введем числовую последовательность . Тогда условие теоремы по определению предела числовой последовательности означает, что выполняется условие

Если , то по определению равномерной сходимости имеем:

Переходя к точной верхней грани в последнем неравенстве, получаем:

,

что и требовалось. Обратно, если выполняется условие теоремы, то мы получим

то есть .

Теорема доказана.

Следствие. Для того, чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве D, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

где - остаток ряда порядка n.

Доказательство. Поскольку для равномерной сходимости функционального ряда необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие , осталось применить доказанную теорему.

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда в терминах общего члена. Мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.

Теперь докажем некоторые условия сходимости функциональных последовательностей и рядов, которые вытекают из критерия Коши и доказанной выше теоремы.

Теорема ( н еобходимое условие равномерной сходимости функционального ряда в терминах общего члена). Если функциональный ряд равномерно сходится на множестве D, то выполняется условие , то есть равномерная на множестве D сходимость функциональной последовательности общих членов ряда к тождественно нулевой функции является необходимым условием равномерной на множестве D сходимости функционального ряда.

Доказательство. Пусть ряд равномерно сходится на множестве D. Тогда, согласно критерию Коши равномерной сходимости

Полагая р =1, мы получим

что и означает справедливость утверждения.

Теорема доказана.

Теорема (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных последовательностей). Пусть существует числовая последовательность и номер , такие, что причем . Тогда

.

Доказательство. Переходя к точной верхней грани в условии теоремы, получим

откуда по теореме о двух милиционерах получим

Последнее равенство равносильно утверждению теоремы.

Теорема доказана.

Теорема (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов). Пусть существует сходящийся числовой ряд , члены которого, начиная с некоторого номера, неотрицательны и пусть члены функционального ряда , определенного на множестве D, начиная с некоторого номера, удовлетворяют условию Тогда этот функциональный ряд равномерно сходится на множестве D.

Доказательство. В силу критерия Коши сходимости числового ряда мы имеем:

Отсюда по условию теоремы получаем

то есть выполняется условие Коши для функционального ряда , а значит, он равномерно сходится на множестве D.

Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-07-18