Читайте также:
|
Исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сходимости Даламбера:
1. 
. Ответ: 
, ряд расходится.
2. 
. Ответ: 
, ряд сходится.
3. 
. Ответ: 
, ряд расходится.
4. 
. Ответ: 
, ряд сходится.
5. 
. Ответ: 
, ряд расходится.
6. 
. Ответ: 
, ряд расходится.
7. 
. Ответ: 
, ряд сходится.
8. 
. Ответ: , ряд сходится.
9. 
. Ответ: , ряд сходится.
10. 
. Ответ: , ряд сходится.
11. 
. Ответ: 
, ряд сходится.
12. 
. Ответ: 
, ряд сходится.
13. 
. Ответ: 
, ряд расходится.
14. 
. Ответ: , ряд сходится.
15. 
. Ответ: 
, ряд расходится.
16. 
. Ответ: 
, ряд сходится.
остановка задачи. Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами
,
где 
и 
, … – функции с известными наименьшими и наибольшими значениями, причем функция 
монотонно зависит от , …
План решения.
1. Проверяем, что 
, т.к. если 
, то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.
2. Поскольку 
, то можно применить первую теорему сравнения:
Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и 
.
Если 
, то из сходимости ряда следует сходимость ряда .
Если 
, то из расходимости ряда следует расходимость ряда .
3. Чтобы сделать вывод о сходимости (расходимости) данного ряда, необходимо установить справедливость одной из двух гипотез:
1) Исходный ряд сходится.
2) Исходный ряд расходится.
3.1. Проверяем первую гипотезу. Чтобы установить, что исходный ряд сходится, нужно найти сходящийся ряд такой, что .
В качестве эталонного ряда используем одни из следующих рядов:
а) сходящийся гармонический ряд 
при 
(
– константа);
б) сходящийся геометрический ряд 
при 
( – константа).
Если существует сходящийся ряд такой, что выполняется неравенство , то по первой теореме сравнения исходный ряд сходится. В противном случае проверяем вторую гипотезу.
3.2. Проверяем вторую гипотезу. Чтобы установить, что исходный ряд расходится, нужно найти расходящийся ряд такой, что .
В качестве эталонного ряда используем одни из следующих рядов:
а) расходящийся гармонический ряд при 
( – константа);
б) расходящийся геометрический ряд при 
( – константа).
Если существует расходящийся ряд такой, что выполняется неравенство , то по первой теореме сравнения исходный ряд расходится.
Замечание. Для оценки общего члена ряда используем неравенства:
, 
, 
,
и т.п.
Задача 3. Исследовать на сходимость ряд.
Пример 1.
.
Сравним данный ряд с рядом 
. Т.к. для любых значений 
выполняется неравенство
,
то из сходимости ряда будет следовать сходимость исследуемого ряда. Ряд сходится согласно интегральному признаку Коши:
.
Значит, сходится и исследуемый ряд.
Пример 2.
.
Сравним данный ряд с рядом 
. Т.к. при любых значениях выполняется неравенство
,
то из расходимости ряда будет следовать расходимость исследуемого ряда. Ряд расходится согласно интегральному признаку Коши:
.
Значит, расходится и исследуемый ряд.
| Предыдущая задача |
Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 75 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Сходимость рядов. Признак Даламбера | | | Виды РД |