Формулы Маклорена и Тейлора

Ряды Маклорена некоторых функций

• Экспонента:
• Натуральный логарифм: для всех
• Биномиальное разложение: для всех и всех комплексных где
• Квадратный корень: для всех
• для всех
• Конечный геометрический ряд: для всех
• Тригонометрические функции:
• Синус:
• Косинус:
• Тангенс: для всех где — Числа Бернулли
• Секанс: для всех где — числа Эйлера (англ. Euler numbers)
• Арксинус: для всех ^[2]
• Арккосинус: для всех
• Арктангенс: для всех
• Гиперболические функции:
• 
• 
• для всех
• для всех
• для всех

Формулы Маклорена и Тейлора

Рассмотрим многочлен -й степени

Его можно представить в виде суммы степеней , взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его раз по переменной , а затем найдем значения многочлена и его производных в точке :

Таким образом, получаем, что

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена степени .

Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен по степеням разности , где - любое число. В этом случае будем иметь:

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена в окрестности точки .

Задание.Разложить в ряд Тейлора функцию в точке .

Решение. Найдем производные:

Итак, , , . Значение функции в точке

Таким образом,

Ответ.

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя ^[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Теорема Лопиталя:

1. либо ;
2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
3. в проколотой окрестности ;
4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

Дата добавления: 2015-07-18