Дискретные случайные величины и их характеристики

Понятие случайной величины является одним из центральных понятий теории вероятностей.

Определение 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Определение 2. Случайная величина, принимающая конечное число или бесконечную последовательность различных значений, называется дискретной величиной.

Приведем некоторые примеры дискретных случайных величин.

1. Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Эта случайная величина может принимать одно из значений 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2. Число родившихся мальчиков среди четырех новорожденных. Эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.

Определение 3. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Например, прирост веса домашнего животного за месяц есть непрерывная случайная величина, которая может принять значение из некоторого числового промежутка.

Случайные величины будем обозначать прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения –– соответствующими строчными буквами x, y, z.

Рассмотрим дискретную случайную величину X с конечным множеством возможных значений. Дискретная случайная величина X считается заданной, если перечислены все ее возможные значения, а также вероятности, с которыми величина X может принимать эти значения.

Соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и вероятностями этих значений, называют законом распределения случайной величины. Для дискретной случайной величины закон распределения удобно записывать в виде таблицы:

Х	х 1	х 2	…	хn
р	p 1	p 2	…	pn

В верхней строке вписываются все возможные значения х ₁, х ₂, …, х_n величины X, в нижней строке выписываются вероятности р ₁, р ₂, …, р_n значений х ₁, х ₂, …, х_n. Поскольку в результате испытания величина Х принимает одно из значений х ₁, х ₂, …, х_n, то р ₁ + р ₂ + … + р_n = 1.

Пример 1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 5 000 000 бел. руб., 10 выигрышей по 1 000 000 бел. руб. и 100 выигрышей по 10 000 бел. руб. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Здесь возможные значения для Х есть: х ₁ = 0, х ₂ = 10 000, х ₃ = 1 000 000, х ₄ = 5 000 000. Их вероятности будут р ₂ = 0,01; р ₃ = 0,001; р ₄ = 0,0001; р ₁ = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889. Таким образом, закон распределения выигрыша X может быть задан таблицей:

Х		10 000	1 000 000	5 000 000
р	0,9889	0,01	0,001	0,0001

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки М ₁(х ₁; р ₁), М ₂(х ₂; р ₂), …, М_n (х_n; р_n), (х_i –– возможные значения Х, р_i –– соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Встречаются случаи, когда закон распределения случайной величины неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают по ее числовым характеристикам. Одной из таких характеристик является математическое ожидание.

Определение 4. Математическим ожиданием М (Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:

М (Х) = х ₁ р ₁ + х ₂ р ₂ + … + + х_nр_n.

Пример 2. Найти математическое ожидание выигрыша Х в примере 1.

Решение. Используя полученную там таблицу, имеем:

М (Х) = 0 × 0,9889 + 10 000 0,01 + 1 000 000 × 0,001 +

+ 5 000 000 × 0,0001 = 1600.

Дата добавления: 2015-07-14