При достаточно большом числе испытаний математическое ожидание дискретной случайной величины Х приближению равно среднему арифметическому всех ее значений.

Допустим, что произведено n испытаний, в которых дискретная случайная величины Х приняла значения х ₁, …, х_k соответственно т ₁, …, т_k раз, так, что т ₁ + т ₂ +… + т_k = n. Среднее арифметическое всех значений, принятых величиной Х, выразится равенством

При достаточно большом числе испытаний (і = 1, …, k). Поэтому

.

Определение 5. Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина.

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине:

М (С) = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М (СХ) = СМ (Х).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М (ХY) = М (Х) М (Y).

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М (Х + Y) = М (Х) + М (Y).

Пример 3. Независимые случайные величины заданы законами распределения

Х
р	0,2	0,8

Y
р	0,3	0,7

Найти математическое ожидание случайной величины ХY.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

М (Х) = 1 × 0,2 + 2 × 0,8 = 0,2 + 1,6 = 1,8.

М (Y) = 2 × 0,3 + 4 × 0,7 = 0,6 + 2,8 = 3,4.

Случайные величины Х и Y независимы, поэтому искомое математическое ожидание

М (ХY) = М (Х) М (Y) = 6,12.

Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две дискретные случайные величины Х и Y своими законами распределения:

Х	–2
р	0,3	0,4	0,3

Y	–100
р	0,4	0,2	0,4

Несмотря на то, что математические ожидания величин Х и Y одинаковы:

М (Х) = –2 × 0,3 + 0 × 0,4 + 2 × 0,3 = 0,

М (Y) = –100 × 0,4 + 0 × 0,2 + 100 × 0,4 = 0,

однако возможные значения случайных величин Х и Y «разбросаны» или «рассеяны» около своих математических ожиданий по–разному: возможные значения величины Х расположены гораздо ближе к своему математическому ожиданию, чем значения величины Y.

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Определение 6. Дисперсией D (X) случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D (X) = М (Х – М (Х))².

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D (X) = М (Х ²) – (М (Х))².

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

D (С) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D (СX) = С ² D (X).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D (Х + Y) = D (Х)+ D (Y).

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин Х и Y равна сумме их дисперсий:

D (Х – Y) = D (Х)+ D (Y).

Пример 4. Найти дисперсию случайной величины Х, имеющей следующий закон распределения:

Х
р	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Решение. Находим математические ожидания случайной величины Х и квадрата ее:

М (Х) = 1 × 0,1 + 2 × 0,2 + 3 × 0,3 + 4 × 0,3 + 5 × 0,1 = 3,1;

М (Х ²) = 1² × 0,1 + 2² × 0,2 + 3² × 0,3 + 4² × 0,3 + 5² × 0,1 = 10,9.

Отсюда

D (X) = М (Х ²) – (М (Х))² = 10,9 – (3,1)² = 1,29.

Определение 7. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

Дата добавления: 2015-07-14