Арифметика с плавающей запятой. Выполнение операций с плавающей запятой

Для научно технических расчетов необходимо представлять значения в широком диапазоне (как целые так дробные) и с достаточно большой точностью. Указанным требованиям отвечают числа с плавающей запятой:

1 2 m 1 2 p

+ -

Мантисса

+ -

Порядок

Рис.1.6.Формат представления данных с плавающей запятой

Число состоит из мантиссы (рис.1.6.), старший разряд которой определяет знак числа, и порядка со знаком. Значение мантиссы представляется двоичной дробью, т. е. запятая фиксируется перед старшим разрядом мантиссы, и порядок – целым числом (обычно двоичным). Порядок указывает действительное положение запятой в числе. Код (4) представляет значение в полулогарифмической форме: X = M * 2 ^p, где М и Р мантисса и двоичный порядок числа. Точность представления значения зависит от числа значащих цифр мантиссы.

Для повышения точности числа плавающей запятой представляются в нормализованной форме 0,5 < = М < 1. Признаком нормализации числа является наличие единицы в старшем разряде мантиссе. В нормализованной форма могут быть записаны все числа из некоторого диапазона за исключением нуля. Нормализованные двоичные числа с плавающей запятой (4) представляют значения в диапазоне

0.5 * 2^-Pmax < = l X l < = (1 -2^m-1)2^Pmax, (3)

где Pmax = 2^p-1-1 – максимальное значение порядка с предельной относительной погрешностью

бX = (2^-(m-1)2^P) / (0.5 * 2^P) = 2^-m (4)

Отсюда видно, что диапазон значений зависит в основном от числа разрядов порядка, а точность – от числа разрядов мантиссы. Ненормализованные числа имеют погрешность, превышающую (4), но за счет потери значимости диапазон представляемых значений расширяется до нуля включительно.

С целью расширения диапазона представляемых значений при фиксированной длине (m + p) числа в качестве основания выбираются значение d = 2^k (обычно k = 3 или 4). При этом порядок становится d – ичным и число представляет значение X = Md^P. Нормализованная мантисса d – ичного числа с плавающей запятой имеет значение, лежащее в диапазоне 1/d < = M < 1. Признаком нормализации такого числа является наличие хотя бы одной единицы в k старших разрядах мантиссы. Переход от двоичного основания к основанию 2^k увеличивает предельную относительную погрешность в 2^k раз (в 8 – 16 раз), но диапазон представляемых значений расширяется в каждую сторону в ((2^k)^2m-1-1)/(2^2(m-1)-1)=2^{(k-1) (2(m-1)-1)} раз по сравнению с (4.1). Так, при m=7 и k=4 диапазон значений расширяется примерно в 10⁶³ раз.

В ЦВМ третьего поколения числа с плавающей запятой имеют основание 16 и представляются в двух форматах: коротком и длинном (рис 3,б). часть числа, содержащая модуль и знак порядка, называется характеристикой. Указанные числа позволяют кодировать значения, лежащие в диапазоне 10^-75<=lXl<=10⁷⁵ с предельной относительной погрешностью, соответственно равной 1,5*10^-6 и 10^-16.

Над числами с плавающей запятой выполняются четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. В некоторых ЦВМ этот список расширяется за счет введения операции вычитания модулей.

Дата добавления: 2015-07-14