Кривые второго порядка

Пример 1. Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением .

Решение. Приведем исходное уравнение к виду (4.13). Для этого сгруппируем члены с и члены с , и выделим в скобках полные квадраты.

, или

- это уравнение окружности с центром в точке и радиусом 2.

Пример 2. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, описываемого уравнением .

Решение. Приведем уравнение к виду (4.14) разделив обе части уравнения 36

, откуда , .

Определяем расстояние фокусов от центра: .

Так как то фокусы эллипса лежат на оси : , .

Эксцентриситет данного эллипса определяем по формуле:

.

Пример 3. Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках , , а длина ее действительной оси равна 1.

Решение. Для записи уравнения гиперболы в виде (4.15) необходимо знать величины и . Величина по условию задачи (длина действительной оси). Определим величину .

Из условия задачи можно определить величину . Это первая координата фокуса, то есть .

По формуле определяем величину :

Подставляем в уравнение (4.15), получаем .

Пример 4. Вывести каноническое уравнение параболы, если известно, что ее вершина расположена в начале координат, она расположена симметрично оси , и проходит через точку .

Решение. По условию парабола симметрична оси и вершина расположена в начале координат, следовательно, для нахождения параметра параболы можно воспользоваться каноническим уравнением (4.16).

Подставим в уравнение (4.16) координаты точки, через которую проходит парабола: , откуда .

Следовательно, уравнение параболы можно записать как ; .

Пример 5. Определить вид кривой второго порядка

и её параметры.

Решение. Преобразуем уравнение линии, группируя члены с и члены с , и вынося за скобки коэффициенты при квадратах:

,

;

выделим в скобках полные квадраты:

,

,

,

разделим обе части уравнения на (144):

Получили уравнение эллипса (4.18) с центром в точке .

Выполним параллельный перенос

.

Получили каноническое уравнение эллипса в системе , где - новое начало. Полуоси , поэтому большая ось параллельна оси .

Найдем фокусы

Вершины эллипса

Дата добавления: 2015-07-14