Теория ламинарного течения в круглых трубах

Г л а в а 5. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ

Теория ламинарного течения в круглых трубах

Как указывалось в п. 1.22, ламинарное течение является строго упорядоченным, слоистым точением без перемешивания жидкости. Теория ламинарного течения жидкости основывается на законе тре­ния Ньютона (см. п. 1.3). Это трение между слоями движущейся жидкости является единственным источником потерь энергии в дан­ном случае.

Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в пря­мой круглой цилиндрической трубе с внутренним диаметром d= 2r₀. Чтобы исключить влияние силы тяжести и этим упростить вывод, допустим, что труба расположена горизонтально. Достаточно далеко от входа в нее, где поток уже вполне сформировался (стабилизиро­вался), выделим отрезок длиной I между сечениями 1—1 и 2 — 2 (рис. 1.44).

Пусть в сечении 1—1 давление равно р_1ч а в сечении 2—2 — р3. Ввиду постоянства диаметра трубы, скорость жидкости будет по­стоянной, а коэффициент а будет неизменным вдоль потока вслед­ствие его стабильности, поэтому уравнение Бернулли для выбран­ных сечений примет вид

где hтр — потеря напора на трение по длине.

Отсюда

что и показывают пьезометры, установленные в этих сечениях.

Рис. 1.44. К теории ламинарного течения жидкости в трубе

В потоке жидкости выделим цилиндрический объем радиусом r, соосньй с трубой и имеющий основания в выбранных сечениях. За­пишем уравнение равномерного движения выделенного объема жид­кости в трубе, т. е. равенство нулю суммы сил» действующих на объем: сил давления и сопротивления. Обозначая касательное на­пряжение па боковой поверхности цилиндра через т, получим

Из формулы следует, что касательные напряжения в поперечной сечении трубы изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюра касательного напряжения показана на рис. 1.44 слева (эта эпюра не зависит от режима течения).

Выразим касательное напряжение т по закону трения Ньютона через динамическую вязкость и поперечный градиент скорости [см. формулу (1.14)]; при этом заменим переменное у (расстояние от стенки) текущим радиусом r:

Знак минус обусловлен тем, что направление отсчета г (от оси К стенке) противоположно направлению отсчета у (от стенки). Подставляя значение т в предыдущее уравнение, получаем

Найдем отсюда приращение скорости \

При положительном приращении радиуса получается отрицатель­ное приращение (уменьшение) скорости, что соответствует профилю скоростей, показанному па рис. 1.44,

Выполнив интегрирование, получим

Постоянную интегрирования С найдем из условия, что па стойко при r = ro, V=0

Скорость по окружности радиусом r

Это выражение является законом распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении. Кривая, изо­бражающая эпюру скоростей, является параболой второй степени.

Максимальная скорость, имеющая место в центре сечения (при r= 0),

Входящее в формулу (1.78) отношение Ртр/1 (см. рис. 1.44) пред-­
ставляет собой гидравлический (пьезометрический) уклон, умно­-
женный па pg. Эта величина является постоянной вдоль прямой
трубы постоянного диаметра.

Применим полученный закон распределения скоростей, описы­ваемый уравнением (1.78) для расчета расхода. Для этого выразим сначала элементарный расход через бесконечно малую площадку dS:

dQ = vdS.

Здесь v есть функция радиуса, определяемая формулой (1.73), а площадку dS целесообразно взять в виде кольца радиусом; и шириной dr_t тогда

После интегрирования по всей площади поперечного сечепия,

Среднюю по сечению скорость найдем делением расхода па пло­щадь. С учетом выражения (1.80) получим

(1.81)

Сравнение этого выражении с формулой (1,79) показывает, что средняя скорость при ламинарном течении в 2 раза меньше макси­мальной: v_cp = 0,5v_max,

Дли получения закона сопротивления, т. е. выражения потери напора h_Tр на трение через расход и размеры трубы, определим р_тр из формулы (1.80):

Разделив это выражение на pg, заменив и. на а также перейдя от найдем

(1.82)

Полученный закон сопротивления показывает, что при ламинар­ном течении в трубе круглого сечения потеря напора на трение про­порциональна расходу и вязкости в первой степени и обратно про­порциональна диаметру в четвертой стонешь Этот закон, обычно называемый законом Пуазейля, используется для расчета трубо­проводов с ламинарным течением *.

Ранее (п. 1.17) условились выражать потери напора на трение через среднюю скорость по формуле (1.59). Приведем закон сопро­тивления (1.82) к виду формулы Бейсбаха—Дарси:

Для этого в формуле (1.82) заменим расход произведением умножив и разделив па Vср и перегруппировав множители, после сокращений получим

или, приведя к виду формулы (1.59), окончательно найдем

(1.83)

гдо λ л — коэффициент потерь на трение для ламинарного течения:

(1.84)

Потеря напора на трение по длине при ламинарном течении про­порциональна скорости в первой степени [квадрат скорости в фор­муле (1.83) для ламинарного течения получен искусственно умноже­нием и делением на Vср], а коэффициент λ л обратно пропорционален Re и, следовательно, скорости v_cр.

^!S Ж. Пуазейль (1799—1869 гг.) — французский ученый, получивший формулу (1,82) экспериментальным путем г. 1840 г.

Зная закон распределения скоростей по сечению трубы» легко определить коэффициент Кориолиса а, учитывающий неравномер­ность распределения скоростей в уравнении Бернулли, для случая стабилизированного ламинарного течения жидкости в круглой трубе. Для этого в выражении (1.54) заменим скорость по фор­муле (1.78) и среднюю скорость по формуле (1.81), а также учтем, что После подстановок и сокращений получим

Итак, действительная кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в 2 раза превышает кинетическую энергию того же потока, но при равномерном распре­делении скоростей.

Таким же путем можно показать, что секундное количество дви­жения ламинарного потока с параболическим распределением ско­ростей в р раз больше количества движения того же потока, но при равномерном распределении скоростей, причем коэффициент р* называемый коэффициентом Буссинеска, в данном случае равен ⁴/₃.

Изложенная теория ламинарного течения жидкости в круглой трубе хорошо подтверждается опытом, и выведенный закон сопро­тивления обычно не нуждается в каких-либо поправках, за исклю­чением следующих случаев:

1) при течении в начальном участке трубы, где происходит по­степенное формирование параболического профиля скоростей (этот вопрос рассмотрен в следующем параграфе);

2) при течении с теплообменом;

3) при течении в капиллярах и зазорах с облитерацией;

4) при течении с большими перепадами давления (пп. 2—4 рас­смотрены в и, 1,27).

Дата добавления: 2015-07-14