П.1 Закон великих чисел.

Ще на першій лекції ми сформулювали теорему Я.Бернуллі, що є однією з форм закону великих чисел: при великій кількості випробувань статистична ймовірність прямує до теоретичної, або .

Існують узагальнення теореми Я.Бернуллі. До них відносяться теорема Чебишова, її наслідки – правило середніх арифметичних і теорема Пуассона, а також теорема Маркова. Теореми Чебишова і Маркова доводяться за допомогою нерівностей Чебишова і Маркова.

Нерівність Маркова. Нехай додатньо визначена випадкова величина Х має обмежене математичне сподівання і нехай константа . Тоді виконується нерівність: .

Доведення.

Нерівність Чебишова. Нехай випадкова величина Х має обмежену дисперсію . Тоді для довільного виконується нерівність: .

Доведення.

Теорема Чебишова (закон великих чисел у формі Чебишова). Нехай - послідовність попарно незалежних випадкових величин, що мають дисперсії, обмежені в сукупності, тобто . Тоді для довільного виконується рівність: .

Правило середніх арифметичних. Нехай - послідовність незалежних вимірювань з обмеженою точністю, тобто без систематичної похибки, тобто . Тоді для довільного .

Теорема Пуассона. Нехай у послідовності п-незалежних випробувань ймовірність появи події А в і-ому випробуванні дорівнює , k – кількість появи події А в цій схемі випробувань. Тоді для довільного .

З теореми Пуассона, поклавши , випливає згадана нами теорема Я.Бернуллі.

Теорема Маркова. Нехай - послідовність довільних випадкових величин, для яких існують дисперсії, причому . Тоді виконується висновок теореми Чебишова: .

Дата добавления: 2015-07-14