Задание 9. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции т.е. вся числовая прямая, кроме точки x = 0, где знаменатель обращается в нуль

2.Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. не выполняется ни одно из условий

В самом деле полученное выражение не равно ни ,ни

Т. о. график функции не является симметричной кривой.

Функция не является периодической

3. Функция непрерывна всюду, кроме точки (как элементарная функция) , т.е. прямая является вертикальной асимптотой.

4.Точек пересечения с осью ординат график функции не имеет, т. к. . Для определения точек пересечения с осью абсцисс решим уравнение

; т.к. то , т.е. график функции пересекает ось абсцисс в точке .

5.Для определения точек экстремума, интервалов монотонности функции найдем первую производную

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки

При производная не существует,но эта точка не является критической, т.к. в ней не существует и сама функция.

Критическая точка разбивает всю область определения функции на следующие интервалы .

Заполним следующую таблицу

	-	не сущ.	-		+
		не сущ.		min

Найдем

Функция имеет минимум в точке

6 .Для определения интервалов выпуклости, вогнутости, точек перегиба найдем вторую производную

;

Вторая производная в области определения функции положительна, поэтому график всюду вогнут, точек перегиба нет.

7 Найдем наклонные асимптоты кривой, которые имеют уравнение

Т.о. наклонная асимптота кривой имеет уравнение .

8.Строим график функции. Сначала на координатной плоскости строим асимптоты и ;затем характерные точки.

	y=x

(2,3)

X

Дата добавления: 2015-07-14