Корреляционный анализ

Корреляция – связь между двумя или несколькими исследуемыми событиями, явлениями или величинами. Так, в химической технологии достаточно продуктивно используется корреляционный анализ для установления влияния состава исходного сырья, руд, потоков на технологические и технико-экономические показатели производства (степень превращения в продукт, степень извлечения ценных компонентов из руд, качество продукта, себестоимость получения продукта и т.п.). Он позволяет также выявить влияние условий работы оборудования, технологических коллективов и факторов, изменяющихся случайным образом (содержание примесей, колебания расходов потоков, переходные режимы работы оборудования, аварийные остановки и т.п.) на основные показатели, что необходимо для оптимизации режимов производства.

Корреляционный анализ используется, когда отсутствуют теоретические зависимости, когда связь между явлениями только предполагается и носит вероятностный характер. Методами корреляционного анализа исследуют наличие случайных связей между независимыми переменными, сам факт существования или статистическую гипотезу о наличии или отсутствии связи. Результат корреляционного анализа также носит вероятностный характер, так как заключение о наличии или отсутствии связи принимается с некоторой наперед заданной доверительной вероятностью.

Корреляционный анализ заключается в определении и анализе коэффициентов корреляции, путем сравнения найденных коэффициентов корреляции с критическими значениями, указывающими на существование значимой корреляционной связи.

Качественную оценку между двумя исследуемыми величинами Х₁ и Х₂ можно представить графически (рис.5.3). При наличии строго определенной (детерминированной) линейной связи между величинами Х₁ и Х₂ график зависимости Х₂=f(X₁) выглядит в виде прямой линии, на которой каждому значению Х₁ соответствуют величины Х₂, отсутствует случайное рассеяние точек. Такой график описывается уравнением:

Х₂=а+вХ₁ (1)

где а - свободный коэффициент;

в - тангенс угла наклона прямой линии Х₂ к оси Х₁.

При наличии вероятностной линейной зависимости Х₂ от Х₁, носящей случайный характер, график изображается в виде совокупности точек, лежащих вблизи прямой линии (рис.5.4-5.5). Величина отклонения экспериментальных точек от прямой линии указывает на величину корреляции между величинами Х₁ и Х₂. Чем сильнее корреляционная связь между Х₁ и Х₂, тем меньше отклонения точек от прямой линии. При отсутствии корреляционной связи между Х₁ и Х₂ точки на графике можно представить в виде области, имеющей форму круга (рис.5.6). В этом случае между точками можно провести бесчисленное количество прямых линий.

		Х1

Рис.5.3. Детерминированная линейная связь между Х₁ и Х₂

Рис.5.4. Положительная связь Х₁ с Х₂ Рис.5.5. Отрицательная связь Х₁ с Х₂

Рис.5.6. Отсутствие связи между

случайными величинами Х₁ и Х₂

Количественной оценкой корреляционной связи между величинами Х и У является коэффициент корреляции r_xy. Он измеряет силу линейной связи между Y и X и может принимать значения от -1 до 1. При положительной величине коэффициента корреляции (положительная корреляционная связь) росту величины Х соответствует возрастание величины У. При отрицательной величине коэффициента корреляции (отрицательная корреляционная связь) росту величины Х соответствует уменьшение величины У. Если величины X и Y независимы, то коэффициент корреляции r_xy =0.

Коэффициент корреляции r_xy вычисляют по величине ковариации:

r_xy = cov (X,Y)/S_xS_y (2)

где cov (X,Y)= å(Хi-X)(Yi-Y)/(n-1) - ковариация;

S_x- среднее квадратическое отклонение величин Х;

S_y- среднее квадратическое отклонение величин У.

Коэффициент корреляции является случайной величиной, поскольку вычисляется из случайных величин. Две случайные величины X и Y являются коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля. Допустим, что выборочный коэффициент корреляции, найденный по выборке, оказался отличным от нуля. Так как выборка отобрана случайно, то отсюда еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от нуля. Возникает необходимость проверить гипотезу о значимости (существенности) выборочного коэффициента корреляции (или о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности). Если гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции будет отвергнута, то выборочный коэффициент корреляции значим, а величины X и Y коррелированны; если гипотеза принята, то выборочный коэффициент корреляции незначим, а величины X и Y некоррелированы.

Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормально распределенной случайной величины необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия t_набл:

(3)

где r_xy - значение коэффициента корреляции, вычисленное по формуле (2).

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости и числу степеней свободы f =n-2 найти критическую точку t_кр(;f) для двусторонней критической области. Затем производится сравнение абсолютной величины |t_набл| и t_кр. Если |t_набл|<t_кр –коэффициент корреляции незначим, а если |t_набл|>t_кр - выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля и случайные величины коррелированны.

Значимость коэффициента корреляции также можно определить /21/ по формуле:

(4)

Вычисленную величину ξ сравнивают с табличным значением коэффициента Стьюдента t(Р=0.95;f= )=1.96. Если тестовая статистика ξ больше табличного значения коэффициента Стьюдента t, то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.

Значимость отличия между двумя коэффициентами корреляции определяют по тестовой статистике /21/:

(5)

Вычисленную величину ξ сравнивают с табличным значением коэффициента Стьюдента t(Р=0.95;f= )=1.96. Если статистика ξ больше табличного значения коэффициента Стьюдента t, то коэффициенты корреляции значимо отличается.

Дата добавления: 2015-07-14