Основные свойства бесконечно малых.

Глава 3.

Тема 4.

Определения и свойства непрерывных функций.

Определение 4.1. Функцию назовём бесконечно малой (при ) если

(4.1)

Сокращённо это записывается так б.м. при (). Если , то такую б.м.

будем называть положительной б.м. (при ). Если , то такую б.м.

будем называть отрицательной б.м. (при ).

Определение 4.2. Две б.м. называются эквивалентными если

(4.2)

Это записывается так .

Основные свойства бесконечно малых.

Теорема 4.1. Пусть функции б.м., а ограниченная функция, тогда справедливы следующие утверждения

1) также является б.м.()

Сумма двух б.м.при также б.м.при .

2) Пусть б.м.при и - ограниченная функция при , тогда также является б.м.

Произведение б.м. на ограниченную функцию также б.м.

3) Предел произведения переменных не изменится, если каждый б.м. сомножитель заменить эквивалентным б.м. сомножителем.

Пример 4.1. Пусть и предел существует, тогда

Определение 4.3. Функцию назовем положительной бесконечно большой (б.б. при ) если для любого сколь угодно большого положительного числа все значения . Краткая запись будет выглядеть так .

Определение 4.4. Функцию назовем отрицательной бесконечно большой (б.б. при ) если для любого сколь угодно большого отрицательного числа все значения . Краткая запись будет выглядеть так .

Теорема 4.2. Если положительная б.м. при , тогда есть положительная б.б. при .

Замечание. Положительную б.м. будем записывать так . Тогда запись будет означать, что величина есть положительная б.б.

Теорема 4.3. Если отрицательная б.м. при , тогда есть отрицательная б.б. при .

Замечание. Отрицательную б.м. будем записывать так . Тогда запись будет означать, что величина есть отрицательная б.б.

Дата добавления: 2015-07-14