Правило исследования функции на непрерывность и на разрыв

При исследовании графика функции на разрыв всё зависит от того какое из условий (4.6)

нарушается.

I. Если нарушено условие A в (4.6), то абсциссу можно назвать точкой неопределённости;

II. Пусть условие А выполнено, но нарушено условие В. Тогда абсцисса это точка

бесконечного разрыва графика функции; Бесконечный разрыв называют разрывом второго рода.

Ш. Если условия А и В выполнены, а условие С нарушено, то абсцисса является

точкой конечного разрыва графика функции. Такой разрыв графика называется

скачком; Разрыв-скачок называют разрывом первого рода.

IV. Пусть условия А, В и С выполнены, но нарушено условие D. Тогда точка это

точка устранимого разрыва графика функции;

Иногда разрыв- скачок называют разрывом первого рода. Бесконечный разрыв называют разрывом второго рода.

Рис.3а рис.3в

рис 3с.

На рис.3а у графика в точке правый бесконечный разрыв. На рис.3в у графика в точке разрыв -скачок. На рис. 3с у графика в точке бесконечный двусторонний разрыв.

Пример 4.2. Исследовать на непрерывность данные функции

Решение.1). Данная функция является элементарной функцией (см. опр.1.10).

Из теоремы 4.6 следует, что она непрерывна всюду в области своего задания . Используя правило, исследуем её на непрерывность в точке

Вычисляем левый предел . При величина является отрицательной

б.м. Следовательно, по теореме 4.3 величина будет отрицательной б.б. при .

Откуда .

Вычисляем правый предел . При величина является положительной

б.м. Следовательно, по теореме 4.2 величина будет положительной б.б. при .

Откуда .

Вывод. Функция непрерывна всюду кроме точки . В точке функция терпит разрыв второго рода (бесконечный разрыв).

2). Данная функция является элементарной функцией (см. опр.1.10).

Из теоремы 4.6 следует, что она непрерывна всюду в области своего задания . Используя правило, исследуем её на непрерывность в точке .

Вычисляем левый предел . При величина является положительной б.м. Следовательно, по теореме 4.2 величина будет положительной б.б. при . Откуда .

Вычисляем правый предел . При величина является отрицательной б.м. Следовательно, по теореме 4.3 величина будет отрицательной б.б. при . Откуда .

Вывод. Функция непрерывна всюду кроме точки . В точке функция терпит разрыв второго рода (левый бесконечный разрыв).

Пример 4.3. Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики

Решение. 1) На интервалах функция непрерывна, так как на каждом она является элементарной функцией. Исследуем функцию в пограничных точках и . Для точки имеем

Согласно правилу в точке разрыв первого рода. Разрыв-скачок.

рис.4

Для точки имеем

Значение функции в точке 3 равно . Следовательно, в точке функция

непрерывна. График функции приведён на рис.4.

2) На интервалах функция непрерывна, так как на каждом она является элементарной функцией. Исследуем функцию в точках и .

Для точки имеем

Согласно правилу в точке разрыв первого рода. Разрыв-скачок.

Для точки имеем

Значение функции в точке 2 равно . Следовательно, в точке функция

непрерывна. График функции приведён на рис.5.

рис.5

Контрольные вопросы.

I. Дайте определение бесконечно малых и бесконечно больших величин.

II. Сформулируйте связь между бесконечно малыми и бесконечно большими

величинами.

III. Cформулируйте определение непрерывности функции в точке .

IV. Сформулируйте теорему о непрерывности элементарной функции.

V. Дайте геометрическую иллюстрацию разрыва графика функции в точке: 1) устранимого, «разрыва-скачка», 3) бесконечного разрыва.

VI. Сформулируйте три основных теоремы о функциях непрерывных на отрезке .

Далее предлагаются упражнения по данной теме для самостоятельной работы. В разделе ответы и решения приведены краткие решения упражнений.

Дата добавления: 2015-07-14