Экз. билет включает 4 задания: задание 1 – теория, задания 2, 3, 4 – задачи.

Теория вероятностей и математическая статистика. Гр. ЭЭ1-13, ЭЭ2-13, ЭЭ3-13. 2 семестр 2014-15 уч. г.

Теоретические вопросы и образцы задач к экзамену.

Экз. билет включает 4 задания: задание 1 – теория, задания 2, 3, 4 – задачи.

Рекомендация. Подготовку к экзамену целесообразно начинать с изучения списка дополнительных вопросов и нахождения (в конспектах, электронных вариантах лекций или в других источниках) четких ответов на эти вопросы!!!

Дополнительные вопросы (на эти вопросы надо давать разумные ответы при минимальном времени на подготовку, по существу, основа знаний ТВ и МС)

Что такое:

1. Относительная частота случайного события в серии экспериментов (независимых испытаний Бернулли?

2. Элементарные исходы, классическое определение вероятности?

3. Размещение, перестановка, сочетание?

4. Сумма, произведение событий, противоположное событие?

5. Правило сложения вероятностей, аксиома счетной аддитивности вероятности, независимость случайных событий?

6. Закон распределения вероятностей случайной величины, функция распределения вероятностей?

7. Дискретная случайная величина, непрерывная случайная величина?

8. Биномиальная случайная величина?

9. Нормальная случайная величина?

10. Выборка, выборочное распределение, выборочные характеристики?

11. Вариационный ряд, эмпирическая функция распределения, гистограмма частот и относительных частот, многоугольник частот?

12. Параметр распределения, оценка параметра?

13. Несмещенная оценка параметра, несмещенная оценка дисперсии, эффективная оценка?

14. Сходимость по вероятности, состоятельность последовательности оценок?

15. Точность и надежность оценки, симметричный доверительный интервал для параметра, несимметричный доверительный интервал?

16. Нормальный закон распределения вероятностей, распределение хи-квадрат, распределение Стьюдента?

17. Статистическая гипотеза, проверка гипотезы?

18. Какой вид имеют доверительные интервалы для математического ожидания нормальной случайной величины при известном среднеквадратическом отклонении, при неизвестном среднеквадратическом отклонении?

19. Какой вид имеют доверительные интервалы для дисперсии и среднеквадратического отклонения нормальной случайной величины?

20. Каковы общие принципы проверки статистических гипотез, что такое уровень значимости?

21. Как строятся меры Пирсона и Пирсона-Фишера для проверки гипотез об известном законе распределения и о виде закона распределения? Как эти меры связаны с распределением хи-квадрат?

22. Как проверяется гипотеза о принадлежности закона распределения к семейству нормальных законов распределения?

23. Какой вид имеет график плотности распределения вероятностей нормальной случайной величины , какие характерные точки можно указать на этом графике?

К заданию 1. Теоретические вопросы к экзамену

1. Случайные события. Относительная частота случайного события, устойчивость частоты, вероятность. Границы вероятности, вероятности достоверного и невозможного событий. Практически невозможные и практически достоверные события. Несовместные события, полная группа событий. Элементарные исходы, классическое определение вероятности случайного события. Элементарные понятия комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания.

2. Операции над событиями: сумма событий, произведение событий, противоположное событие. Правило (аксиома) сложения вероятностей. Правило сложения для несовместных событий, вероятность противоположного события. Аксиома счетной аддитивности вероятности. Условная вероятность случайного события как следствие понятия условной частоты. Правило умножения вероятностей. Независимость случайных событий.

3. Одномерные случайные величины. Закон распределения вероятностей случайной величины. Функция распределения вероятностей как общий способ задания закона распределения, вероятность попадания случайной величины на полуинтервал. Свойства функции распределения вероятностей.

4. Одномерные дискретные случайные величины. Значение суммы вероятностей, таблица распределения вероятностей, график функции распределения вероятностей одномерной случайной величины. Одномерные непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятностей, вероятность попадания на числовой промежуток. Связь функции распределения вероятностей одномерной непрерывной случайной величины с плотностью распределения.

5. Простейшие числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение одномерной дискретной случайной величины. Преобразованная формула для вычисления дисперсии. Элемент вероятности и простейшие числовые характеристики непрерывной случайной величины. Медиана и мода одномерной случайной величины.

6. Нормальный закон распределения вероятностей. Плотность распределения вероятностей нормального закона, график плотности распределения, характерные точки графика и их связь с параметрами нормального закона. Вероятностный смысл параметров нормального закона. Функция Лапласа и формула для вероятности попадания нормальной случайной величины на числовой промежуток. Таблица значений функции Лапласа. Формула для вероятности попадания на симметричный числовой промежуток и «правило трёх сигм».

7. Многомерные случайные величины, закон и функция распределения вероятностей, дискретные и непрерывные случайные величины. Двумерные дискретные случайные величины, таблица распределения вероятностей, восстановление законов распределения составляющих величин, пример. Независимость случайных событий и общее понятие независимости многомерных случайных величин. Независимость дискретных одномерных случайных величин и , совместный закон распределения вероятностей которых задан таблицей распределения. Выражение независимости одномерных случайных величин через функцию совместного распределения вероятностей .

8. Функции случайных величин, математическое ожидание функции, формула для математического ожидания функции дискретных случайных величин в общем случае и в случае функции двух одномерных случайных величин, совместный закон распределения вероятностей которых задан таблицей. Начальные и центральные моменты. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.

9. Свойства математического ожидания. Свойства дисперсии. Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции. Некоррелированность случайных величин, связь с независимостью случайных величин. Дисперсия суммы некоррелированных и независимых случайных величин. Многомерное нормальное распределение, эквивалентность некоррелированности и независимости для нормального распределения.

10. Понятие о центральной предельной теореме теории вероятностей. Интегральная ЦПТ в форме Линденберга-Леви. Сходимость последовательности случайных величин по вероятности. Теорема Чебышева и теорема Бернулли. Общее понятие о законе больших чисел.

11. Основная формальная задача математической статистики. Выборка, выборочная случайная величина, выборочное распределение и выборочные характеристики. Сходимость последовательности случайных величин по вероятности, теорема Бернулли. Закон распределения вероятностей случайной величины как предел последовательности законов распределения выборочных случайных величин.

12. Выборка для одномерной случайной величины, вариационный ряд, выборочная случайная величина, таблица распределения выборочной случайной величины, эмпирическая функция распределения, многоугольник частот (частостей) и многоугольник относительных частот. Сходимость по вероятности последовательности эмпирических функций распределения к теоретической функции распределения вероятностей. Метод вычисления выборочной медианы по вариационному ряду.

13. Выборка, выборочная случайная величина, выборочное распределение и выборочные характеристики. Общая формула для вычисления выборочного математического ожидания функции случайных величин как среднего значения значений функции в выборочных точках. Частные случаи этой формулы для вычисления выборочного математического ожидания (выборочного среднего), выборочной дисперсии и выборочного корреляционного момента.

14. Группировка выборочных данных, гистограмма частот и гистограмма относительных частот. Использование группировки для приближения выборочного распределения, выборочной функции распределения и приближенного вычисления выборочных характеристик.

15. Параметры распределений (параметры семейства случайных величин). Точечные оценки параметров. Оценка параметра как функция от одинаково распределенных независимых случайных величин (статистика). Несмещенная оценка, доказательство несмещённости выборочного математического ожидания. Математическое ожидание выборочной дисперсии. Исправленная несмещенная оценка дисперсии. Исправленная оценка среднего квадратического отклонения.

16. Параметры распределений (параметры семейства случайных величин). Точечные оценки параметров. Оценка параметра как функция от одинаково распределенных независимых случайных величин (статистика). Сравнение несмещенных оценок по эффективности, эффективность несмещенной оценки. Сходимость последовательности случайных величин по вероятности, состоятельность последовательности оценок параметра распределения. Теорема Чебышева и состоятельность последовательностей выборочных характеристик.

17. Точность и надежность оценки параметра, симметричный доверительный интервал. Построение симметричного доверительного интервала для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии (определение точности стандартной оценки математического ожидания при заданной надежности), практический смысл такого доверительного интервала.

18. Точность и надежность оценки параметра, симметричный доверительный интервал. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии. Определение количества экспериментов, необходимых для получения заданной точности среднего значения результатов измерений при заданной надежности.

19. Точность и надежность оценки параметра, симметричный доверительный интервал. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии. Определение вероятности отклонения выборочного среднего от математического ожидания на заданную величину (определение надежности оценки математического ожидания по заданной точности).

20. Нормальный закон распределения вероятностей, стандартное нормальное распределение. Распределение хи-квадрат и распределение Стьюдента с степенями свободы как функции от независимых стандартных нормальных случайных величин.

21. Параметры распределений (параметры семейства случайных величин). Общее понятие доверительного интервала для параметра распределения. Нормальный закон распределения вероятностей, распределение хи-квадрат. Теорема Фишера о распределении выборочного математического ожидания и выборочной дисперсии нормальной случайной величины. Общий метод построения несимметричных доверительных интервалов для дисперсии и среднего квадратического отклонения нормальной случайной величины.

22. Нормальный закон распределения вероятностей, распределение хи-квадрат и распределение Стьюдента. Теорема Фишера о распределении выборочного математического ожидания и выборочной дисперсии нормальной случайной величины. Построение симметричного доверительного интервала для математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии.

23. Статистические гипотезы, общие принципы проверки статистических гипотез.

24. Мера Пирсона отклонения выборочных данных от предполагаемого теоретического закона распределения вероятностей. Распределение хи-квадрат. Теорема Пирсона о предельном поведении меры Пирсона. Критерий Пирсона для проверки гипотезы о полностью заданном законе распределения вероятностей.

25. Мера Пирсона-Фишера отклонения выборочных данных от предполагаемого теоретического закона распределения вероятностей, зависящего от конечного числа неизвестных параметров. Распределение хи-квадрат. Теорема Фишера о предельном поведении меры Пирсона-Фишера. Проверка гипотезы о принадлежности случайной величины к семейству случайных величин, зависящему от конечного числа параметров по критерию Пирсона-Фишера.

26. Условные распределения вероятностей для случая дискретных случайных величин, совместный закон распределения которых задан таблицей. Условные распределения в непрерывном случае, механическая интерпретация условных законов распределения вероятностей. Определение функций регрессии.

27. Определение функций и кривых регрессии, механическая интерпретация кривых регрессии. Минимизирующее свойство функций регрессии. Доказательство теоремы о минимизирующем свойстве для дискретных случайных величин. Среднеквадратическая регрессия в заданном классе функций и среди функций заданного вида.

28. Определение функций и кривых регрессии, минимизирующее свойство функций регрессии. Среднеквадратическая регрессия в классе линейных функций, вывод стандартных уравнений прямых линий среднеквадратической регрессии. Роль коэффициента корреляции.

29. Метод наименьших квадратов для получения приближенных зависимостей по экспериментальным данным.

30. Определение функций регрессии, минимизирующее свойство функций регрессии, среднеквадратическая регрессия в классе функций заданного вида. Приближенное определение функций среднеквадратической регрессии по экспериментальным данным, связь с методом наименьших квадратов.

Дата добавления: 2015-07-14