Основные свойства интеграла от функции комплексного переменного.

1. Линейность.

Если и - непрерывные функции в некоторой плоскости и Г - кусочно-гладкая кривая, то выполняется условие .

2. Аддитивность.

Если - непрерывная функция в некоторой плоскости и - кусочно-гладкие кривые, то .

3. Ориентированность.

Если - непрерывная функция в некоторой плоскости и Г - кусочно-гладкая кривая, то .

4. Оценка интеграла.

, где - дифференциал длины дуги кривой Г.

5. Если - есть параметрическое задание кривой Г, а и - её начальная и конечная точки, то .

Теорема 1. (Коши). Если функция аналитична в односвязной области D, то интеграл от этой функции вдоль всякого кусочно-гладкого замкнутого контура, лежащего в области D, равен нулю, т.е. .

Теорема 2. (Коши). Пусть функция является аналитической функцией в многосвязной области D, ограниченной извне контуром Г₀, а изнутри контурами Г₁, Г₂,…, Г_n, и пусть непрерывна в замкнутой области . Тогда , где Г полная граница области D, состоящая из контуров Г₀, Г₁, Г₂,…, Г_n, причем обход границы Г происходит в положительном направлении.

Теорема. Пусть f (z) есть аналитическая функция в некоторой замкнутой односвязной области D, ограниченной конту­ром Г, и пусть - какая-либо точка внутри области D. Тогда имеет место формула , (направление обхода - положительное), которая называется интегральной формулой Коши.

Эта формула выражает значение аналитической функции в любой точке области через ее значение на границе области.

Формула Коши остается в силе и для многосвязной области, но под подразумевается интеграл по всем кривым, составляющим контур.

С помощью интегральной формулы Коши можно вычислять интегралы по замкнутым контурам: .

Пример: Вычислить , где Г – окружность .

Дата добавления: 2015-07-14