Вектор координаталарының геометриялық мәні.

Читайте также:

АВАНТЮРИЗМ ВЕКТОРА
Векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігі. Векторлық кеңістік және оның базисі. Берілген базистегі вектор координаталары. 1 страница
Векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігі. Векторлық кеңістік және оның базисі. Берілген базистегі вектор координаталары. 2 страница
Векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігі. Векторлық кеңістік және оның базисі. Берілген базистегі вектор координаталары. 3 страница
Векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігі. Векторлық кеңістік және оның базисі. Берілген базистегі вектор координаталары. 4 страница
Векторная диаграмма АД.

Ортонормаланған (, , ) базисте = {а₁, а₂, а₃} вектор берілсін. Бұл вектор базистік векторлармен сәйкесінше α, β, γ

бұрыштар жасасын.

=а₁ +а₂ +а₃ векторды , , базистік векторларға жеке – жеке көбейтейік. = а₁ ²+а₂ +а₃ =а₁+0+0=а₁

= а₁ + а₂ ²+ а₃ =0+а₂+0=а₂

= а₁ + а₂ + а₃ ²=0+0+ а₃= а₃. Сонымен = ₁, = а₂, =а₃(3.18)

Бұлардан а₁= =| || | cosα=| | cosα= Пр =

а₂= =| || |cos β=| | cos β= Пр =

а₃= =| || | cos γ=| | cos γ= Пр =

а₁= Пр = , а₂ Пр = , а₃ Пр = (3.20)

Сонымен вектор координаталары а₁, а₂, а₃ деген вектордың , , базистік векторларға түскен проекциясы болады екен.

Бұл вектор координаталарының геометриялық мәнін білдіреді. (3.19) – ден квадраттап қоссақ.

а²₁+а²₂+а²₃=| | (cos² α+ cos² β+ cos² γ). Бұдан (3.11) ескерсек

cos² α+ cos² β+ cos² γ=1 (3.21)

Сөйтіп вектор базистік векторлармен кез келген бұрыш жасай алмайды екен. Олар жасайтын α, β, γ бұрыш (3.21) формуламен жіктеледі. Ондағы косинустарды вектордың бағыттаушы косинустары дейді.

(3.11) мен (3.19) – дан.

Cosα= , cos β= , cos γ= (3.22)

Бұл бойынша вектордың , , бұрыштарымен жасайтын бұрыштарының косинустарын табу үшін сәйкесінше 1-,2-, 3- координаталарын вектор ұзындығына бөлу керек.

3.7. Екі өлшемді векторлық кеңістіктегі векторлардың скаляр көбейтіндісі. Екі өлшемді V₂ векторлық кеңістіктің базисі тек екі вектордан тұратыны айтылған. Сондықтан вектор координаталары да екеу болады.

Тік бұрышты (, ) базисте ={а₁, а₂}, ={в₁, в₂} векторлар берілсе, олардың скаляр көбейтіндісі.

= а₁в₁+ а₂ в₂ (3.23)

вектор ұзындығы | |= (3.24), векторлар арасындағы бұрыш cos( ^ )= (3.25) формулаларымен табылады.

Векторлардың коллинеар болу шарты ортагонал болу белгісі а₁в₁+а₂в₂=0 болады.

Бұл формулалар үш өлшемді кеңістіктегі сәйкес формулалардан үшінші координат жоқ деп есептеу арқылы шығады.

1-мысал.Ұзындықтары 6 және 5 болатын арасындағы бұрышы 60⁰ болатын векторлардың скаляр көбейтіндісін табыңдар.

Шешуі. (3.3) бойынша = | || | cosφ. Мысалда | |=6, | |=5, φ=60⁰. Сонда =6·5cos60⁰=6·5· =15

2-мысал. ={2, -1, 2}, = {1, -3, -1}

Төмендегілерді табайық.

а) Екі вектордың скаляр көбейтіндісі (3.10) бойынша

= 2·1-1· (-3)+2(-1)=2+3-2=3 болады.

ә) Вектор ұзындықтары (3.11) бойынша | |= , | |= болады.

б) Екі вектор арасындағы бұрыш (3.7), (3.13) бойынша

cosφ= , φ=аrсcos

в) Бұл векторлар ортогонал емес, себебі =3≠0

г) Векторлар коллинеар емес. Өйткені сәйкес координаталары пропорционал емес ≠ ≠

д) + вектордың векторға түскен проекциясын табу үшін Пр = | | cosφ= | | = формуланы пайдаланамыз.

Сонда + ={2+1, -1-3, 2-1}={3, -4, 1};

( + ) = 3·2-4(-1)+1·2=6+4+2=12

Пр ( + )=

3-мысал. ={8, 4, 1}, ={2, -2, 1} берілген. Мыналарды табыңдар.

1⁰. мен - ның скаляр көбейтіндісі.

= 8·2+4(-2)+1·1=16-8+1=9

2⁰. Векторлардың ұзындығы.

| |=

3⁰. Векторлар арасындағы бұрыш.

cos φ= = , φ= аrсcos

4⁰. вектордың вектордағы проекциясы.

Пр = , Пр =

5⁰. Векторлар коллинеар емес. Өйткені шарты орындалмайды. ≠ ≠

6⁰. Векторлар ортагонал емес. Өйткені а₁в₁+ а₂ в₂+ а₃в₃=0 шарт орындалмайды: 8·2+4·(-2)+1·1=9≠0

7⁰. вектордың базистегі , , векторларға түсетін проекциясы неге тең. Ол сол вектордың сәйкесінше 1-, 2-, 3- колординаталарына тең болады ((3.20)формула).

Пр = =8, Пр = =4, Пр = =1

8⁰. вектордың бағыттаушы косинустары.

cosα= ; cos β= ; cos γ=

Табылғандар дұрыс, себебі (3.21) бойынша

cos² α+ cos² β+ cos² γ= ()² +()²+ ()²= болады.

4-мысал. Базистік , , векторлармен векторы сәйкесінше 30⁰,45⁰, 60⁰ бұрыш жасай алады ма?

Мұндай бұрыш жасау үшін cos² α+ cos² β+ cos² γ = 1 шартын қанағаттандыруы керек ((3.21) формула)

cos² α+ cos² β+ cos² γ= cos²30⁰+ cos² 45⁰+ cos²60⁰ = . Сондықтан көрсетілген бұрыштарды жасай алмайды.

5-мысал. векторы , базистік векторлармен сәйкесінше 120⁰, 135⁰ жасайды. Ол вектор векторымен қандай бұрыш жасайды.

Мұнда α=120⁰, γ=135⁰, β-ны табу керек.

Сонда cos² 120⁰+ cos²β+ cos² 135⁰=1болу керек. Бұдан cos²β=1- cos² 120⁰- cos² 135⁰=1- cos²(90⁰-30⁰)- cos²(120⁰-45⁰)=1-sіn²30⁰- cos² 45⁰= 1-()²-()² =1- cosβ=± ; β= аrсcos=(± )=60⁰ немесе 120⁰.

Қайталау сұрақтары мен есептер.

1. Өс деген не, оның түзуден айырмашылығы қандай?

2. Вектордың өстегі проекциясы деп нені айтады; ол оң теріс

бола алады ма? Оны қалай табады?

3. Векторлар арасындағы бұрыш деп нені айтады. Бағдарланған жағдайда оң, теріс бұрыш деген не?

4. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі деп нені айтады?

5. Қандай векторлардың скаляр көбейтіндісі 0-ге тең болады?

6. Ортонормаланған базисте базистік векторлардың скаляр көбейтінділері неге тең болады?

10. Коллинеар векторлардың скаляр көбейтіндісі неге тең?

11. Векторлардың скаляр көбейтіндісі олардың координаталары арқылы қалай өрнектеледі (табылады)

12. Вектор ұзындығын, вектордың векторға түскен проекциясын табу формулалары қандай?

13. Екі вектордың арасындағы бұрышты табу формуласы қандай?

14. Векторлардың коллинеар, ортогонал болу белгілері қандай?

15. Векторлардың скаляр көбейтіндісінің оң, теріс болуы неге байланысты?

16. Вектор координаталарының геометриялық мағынасы қандай?

17. Вектордың бағыттаушы косинустары деген не, оны табу формуласы қандай?

18. Вектордың бағыттаушы косинустарына қандай тежеу қойылады?

19. Вектордың скаляр квадраты, кубы деуге болады ма?

20. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі сол векторлардың ұзындықтарының көбейтіндісіне тең болуы мүмкін бе, жоқ па?

21. Векторды базистік векторлар скаляр көбейткенде не шығады?

22. Төмендегі теңдіктердің дұрыс-қатесін анықтаңдар;

а) ә) б) в)

г) д) е)

23. болса, векторлардың

скаляр көбейтіндісі неге тең?

24. Скаляр көбейтіндісін табыңдар: а)

ә) б)

в) г)

25. . Векторлар берілген

вектор координаталарын табыңдар, мен ның скаляр көбейтіндісін табыңдар, ұзындықтарын табыңдар.

26. берілген. Мыналарды табыңдар.

27. векторлардың ұзындығын, бірлік векторларын табыңдар.

28. Векторлар арасындағы бұрышты табыңдар:

а) б)

29. болса а)

б) неге тең?

30. болса Пр_е неге тең?

31. мен мәні қандай болғанда векторлар колинеар болады?

а) б)

32. қандай болғанда векторлар ортогонал болады?

а) б)

33. болса қысқартып деуге болады ма, жоқ па?

34. векторлардың бағыттары туралы не айтуға болады?

35. Пр_е -ны табыңдар.

4.Векторлардың векторлық көбейтіндісі

4.1. Оң және сол векторлар үштігі. Үш вектор тәртіптелген (реттелген) үштік делінеді, егер ол векторлардың қайсысы бірінші, қайсысы екінші, қайсысы үшінші екені көрсетілсе. Үштікті жазғанда бұл тәртіп сақталып жазылады. Мысалы деп жазылса, онда бұл үштіктің бірінші, -екінш,і -үшінші векторы, ал деп жазылса бұл үштік үшін -бірінші, -екінші, -үшінші вектор болады. Сондықтан мен әртүрлі үштік деп есептеледі.

Компланар емес векторлар үштігі оң үштік (сол үштік) делінеді егерде оларды етіп бір нүктеге көшіргенде төмендегі үш жағдайдың бірі орындалатын болса:

1-жағдай. А дан В-ға, В-дан С-ға, С-дан А-ға жүріп өту жолының бағыты О нүктеден сағат тілі қозғалысына кері (бағыттас) болып көрінетін болса (15-сурет)

15-а суретте оң үштік, 15-б суретте сол үштік болады.

2-жағдай. вектордың ұшынан қарағанда -ны -ға беттестіру үшін бұратын бұрыштың кішісінің бұрылу бағыты сағат тілі қозғалысы бағытына кері (бағыттас) болса (16-сурет)

16-а суретте оң үштік, 16-б суретте сол үштік болады.

3-жағдай. Оң (сол) қол алақанының соңғы екі саусағын жұмса, ортаңғы саусақты алақанымен 0-ден өзге бұрыш жасайтындай етіп қойғанда -бас бармақ, -сұқсаусақ, -ортаңғы саусақ бағытымен бірдей болып орналасса (17-сурет). 17-а суретте оң,

17-б суретте сол үштік болады. Демек, бұл жағдайда

векторлар оң (сол) қол ережесіне бағынуы керек.

а) б) а) в)

15-сурет 16-сурет

Егер екі үштіктің екеуі де оң, не сол үштік болса, онда оларды бірдей бағдарланған, ал бірі оң екіншісіне сол үштік болса қарама-қарсы бағдарланған үштіктер дейді.

Мысалы бірдей бағдарланған үштіктер,

үштіктерде бірдей бағдарланған, бірақ бұлар алғашқы үштікке қарама-қарсы бағдарланған.

4.2. Векторлардың векторлық көбейтіндісі. Вектор -ның вектор -ға векторлық көбейтіндісі деп төмендегі үш талапты қанағаттандыратын -векторын айтады:

1-ден, -векторының ұзындығы және векторлардың ұзындықтарын олар арасындағы бұрыштың синусына көбейткенде

шығатын санға тең болуы керек, яғни

2-ден, вектор векторға да, векторға да ортогонал болуы керек, яғни болуы керек,

3-ден, (көбейгіш), (көбейткіш), (көбейтінді) векторлар орналасуында оң үштік жасауы керек.

Екі вектордың векторлық көбейтіндісін немесе

деп белгілейді.

Векторлардың векторлық көбейтіндісінің бұл анықтамасынан тікелей мына тұжырымдардың дұрыстығы шығады:

1. Берілген векторларлдың векторлық көбейтіндісі болатын

вектордың ұзындығы, сан жағынан сол мен векторлар қабырғасы болатын параллелограммның ауданына тең болады.

Өйткені қабырғалары олар арасындағы бұрышы болатын параллелограмның ауданы болатыны мектептен белгілі. Бұл (4-1) мен бірдей. Сондықтан параллелограмм ауданы мына (4-2) формуламен анықталады.

Ал, қабырғалары және векторды кескіндейтін үшбұрыш ауданы (4-3) формуламен табылады.

2. Анықтаманың 2-талабынан болғандықтан екі вектордың векторлық көбейтіндісі ол векторлар жататын жазықтыққа перпендикуляр болады. (18-а сурет)

Ал, 3-талабы бойынша ол вектор векторлар жатқан жазықтықтың векторлар оң үштік жасайтын жағына қарай бағытталады, яғни үстіңгі жағына төменгі жағына қарай бағытталады (18-б сурет)

3. Екі векторлардың векторлық көбейтіндісі ол вектордың бірі нөлдік вектор болғанда немесе ол векторлар коллинеар болғанда ғана нөлі вектор болады. Өйткені болу

үшін не не не болуы керек.

Егер болса, онда болады.

⁰ б)

⁰ 18-сурет

Ол үшін не 0⁰ не 180⁰ болуы керек. Ал, ол мен коллинеар болу керек деген сөз. Керісінше (коллинеар) болса, онда бұлар арасындағы бұрыш не 0⁰, не 180⁰ болады, ал болатындықтан болады. Ал бұл деген сөз. Сөйтіп екі вектор коллинеар болса олардың векторлық көбейтіндісі

(4-4)

нөл болады. (4.4) екі вектордың коллинеар болу шарты болады.

4. Кез келген векторлар үшін мына теңдік дұрыс болады. (4.5).

яғни векторлық көбейтуде көбейткіштердің орнын ауыстырғанда олардың таңбасы кері ауысады, вектор ұзындығы сақталады.

Дәлелі 1-ден болғандықтан

2-ден, векторлар үштігі де, векторлар

үштігіде оң үштік болу керек. Ал да да мен жатқан жазықтыққа перпендикуляр болатындықтан олар бұл жазықтықтың екеуі екі жағына қарай бағытталуы керек.

Сондықтан болады. Сонымен векторлық көбейту амалында орын алмастыру заңы сақталмайды.

5. Кез келген нақты саны мен векторлар үшін мына теңдіктер орындалады: (4.6).

Дәлелі болса болатындықтан

Сондықтан бұлардың синустары да тең болады

Егер болса болатындықтан болады да бұл кезде де

Осыларды ескерсек

бұлардан

Сонымен қатар бұл векторлардың бағыттары да бірдей болады. Демек (4.6) теңдік дұрыс.

6. Кез келген векторлар үшін

(4.7)

Дұрыстығын вектор координаталары арқылы дәлелдейміз.

4.3. Векторлардың векторлық көбейтіндісі сол векторлардың координаталары арқылы өрнектеу. Ортонормаланған базис және ол базисте векторлар берілсін. Базис ортонормаланған болғандықтан болатыны белгілі. Базистік векторлардың векторлық көбейтінділерін табайық.