Векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігі. Векторлық кеңістік және оның базисі. Берілген базистегі вектор координаталары. 2 страница

Кеңістікте базис берілсе, онда кеңістіктің кез келген векторы базис ережесі бойынша базистік векторларға бір мәнді жіктеледі.

(2.3)

Осы жіктелудегі коэффициенттерді (олар нақты сандар болады) вектордың базистегі координаталары дейді де былайша белгілейді.

(2.4)

Мысалы десе оны толық түрде түрінде жазады.

Базистік векторлардың сол базистегі координаталары , , (2.5) болады. Себебі , , болып жіктеледі.

Егер базистік векторлар бірлік векторлар болса және қос-қостан өзара ортогонал (Перпендикуляр) болса, онда ол базисті ортонормаланған базис дейді. Әдетте ортонормоланған базисті әріптері мен белгілейді.

Анықтама бойынша = , (2.6).

Векторларды қосу, алу, санға көбейту амалдарынан вектор координаталарынан төмендегідей қасиеттері шығады.

а) б)

10-сурет

2-4. Теорема. базисте ,

екі вектор берілмсін онда

а) Егер векторлар тең болса, олардың сәйкес координаталары да тең болады, яғни болса, онда болады.

б) Егер векторлар қосылса (алынса) олардың сәйкес координаталары да қосылады (алынады) яғни

болады.

в) Егер вектор бір санға көбейтілсе, онда оның барлық координаталары сол санға көбейтіледі, яғни .

Дәлелі. болатындықтан

а) болса,

Ал, базис болғандықтан олар сызықтық туәелсіз, сондықтан . Бұдан

б) . Демек

в) Демек

Сонымен (2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

2.4. Векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі. V векторлық кеңістік, ал W оның қандайда бір ішкі жиыны болсын.

Векторлар жиыны W векторлық V кеңістіктің ішкі векторлық кеңістіктегі немесе бөлімше кеңістігі делінеді, егер ол төмендегі екі шартты қанағаттандырса.

1⁰. w, w болатын векторлар үшін w болса.

2⁰. w векторлар үшін w болатын болса (к-саны). Яғни W де жататын векторлардың қосындылары да, нақты санға көбейтінділері де сол W жататын болса.

Векторлардың кеңістік V-ның ішкі векторлық кеңістігі W-ның белгілі тәртіпте қарастырылатын кез келген сызықтың тәуелсіз векторлар жүйесі сол ішкі кеңістіктің базисі болады. Базиске енетін векторлар саны сол ішкі кеңістіктің өлшемі делінеді.

V векторлық кеңістіктен екі вектор алсаң онда түрдегі векторлар жиыны жоғарыдағы екі шартты да қанағаттандырады. Сондықтан векторлар жиыны V кеңістіктің ішкі векторлық кеңестігі болады. Оны векторларға керілген ішкі кеңістік дейді. Ол мен жатқан жазықтыққа параллель векторлардық жиыны болады. Оны Vкеңістіктен 2 өлшенді ішкі векторлық кеңістіктігі дейді және V₂ мен белгілейміз. Оның базисі кез келген коллинеар емес екі вектордан тұрады. Оны десек, олар екі түрлі орналасуы мүмкін. (11- а,б-сурет).

11 – а суретте -ді, -ге беттестіру үшін бұратын бұру бұрышының кішісінің қозғалыс бағыты сағат тілі қозғалысына кері, 11- б суретте бағыттас. Оның 1-сін оң, екіншісін сол базис дейді. Біз оң базисті пайдаланамыз.

2.1. Теорема бойынша , векторлар жатқан жазықтықтың кез келген векторы ол векторларға бірмәнді жіктеледі.

= + (2-11)

а) б)

11-сурет

Осы жіктелудегі коэффициенттер – (а₁, а₂) сандарын вектордың , базистегі координаталарын дейді де. Оны

= , (2-12) деп жазады.

Вектор координаталарының 2.4-те дәлелденген қасиеттері екі өлшемді кеңістік үшінде дұрыс, яғни = , , = , болса, онда

= болса, = , = (2-12),

= , (2-13),

λ = , (2-14) болады.

λ (λ нақты сан) түрдегі векторлар жиынын бір өлшемді ішкі векторлық кеңістік дейді. Олар бір түзуге параллель болатын векторлар жиыны болады.

Оның кез келген -ден өзге векторы сол бір өлшемді векторлық кеңістіктің базисі болады. Бір өлшемді векторлық кеңістікті құрайтын векторлар координаты бір ғана саннан тұрады. Екі өлшемді кеңістіктің базистері , , болса ол базис ортонормаланған (тікбұрышты) делінеді.

1-мысал. АВСД параллелограм О=АС∩ВД диагоналдардың қиылысу нүктесі, АВ мен АД-ның орталары Е,Ғ нүктелері болсын. Төмендегі сұрақтарға жауап беріңдер (12-сурет).

1. -ге коллинеар векторлар қайсы.

Векторлар коллинеар болу үшін олар бір түзуде немесе параллель түзулерде жатуы керек. Сондықтан -ге , , , , , векторлар коллинеар болады.

Коллинеар векторлар не бағыттас, не қарама – қарсы бағытта болады. -ге , векторлары бағыттас,ал , қарама – қарсы бағыттағы векторлар.

12-сурет

2. –ке тең векторлар қайсы. Векторлар тең болу үшін бағыттары бірдей (демек параллель), ұзындықтары теңдей болуы керек. Сондықтан - ке тең векторлар , болады.

3. , –ның қосындысы қайсы вектор болады. Шаль теоремасы бойынша + = . Осы сияқты + = . Параллелограмм ережесі бойынша + = , + = .

4. мен векторлардың айырымы қайсы вектор болады. Бұл екі вектор бір нүктеден шығып тұр. Сондықтан олардың айырымы олардың соңғы нүктелерін жалғайтын вектор болуы керек және алынғыш векторға қарай бағытталуы керек.

Демек - = , - = . Осы сияқты - = , - = , - = болады.

5. Суретте вектор мен санның көбейтіндісін кескіндейтін вектор бар ма.

Параллелограмның диагоналының қасиеті бойынша АО=ОС, ДО=ОВ. Сондықтан = = , = = , = , = , = + , = , = , т.б. 6. мен -ті базистік векторлар үшін алып, параллелограмның қабырғалары мен диагоналдарын кескіндейтін векторлардың координаталарын табу керек.

Вектордың берілген базистегі координаталарын табу үшін, ол векторды сол базисте жіктеу керек. Сол жіктеудегі коэффициенттер вектор координаталары болады.

мен сәйкесінше 1,2- базистік вектор болғандықтан олардың базистегі координаталары = , = болады.

Ал, = болғандықтан = + деуге болады. Сондықтан = болады. Осы сияқты = болады.

Дата добавления: 2015-12-08