Векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігі. Векторлық кеңістік және оның базисі. Берілген базистегі вектор координаталары. 4 страница

46. = , , , = , , , = , , болса,

а) - + , б) + + векторлардың координаталары неге тең.

50. Векторлардың компланар болар, болмасын ажыратыңдар.

а) = , , , = , , , = , ,

б) = , , , = , , , = , , .

§3. Векторлардың скаляр көбейтіндісі.

3.1. Векторлар арасындағы бұрыш. Векторлар мен берілсін. Олардың О нүктеден = , = өлшеп салсақ, екі φ, φ₂ бұрыш шығады. (13-сурет). Оның кішісін мен

векторлар арасындағы бұрыш дейді, ⁺

+

13сурет оны <( ) немесе ( ^ ) арқылы белгілейді.

Ол бұрыш тік болса, векторлар өзара ортагонал

делінеді. Егер жазықтық бағдарланған болса, онда дан -ға дейінгі кіші бұрыш оң делінеді, егерде - ны мен беттестіру үшін бұру бағыты сағат тілі қозғалысы бағытына кері болса, сағат тілі қозғалысы мен бірдей болса теріс делінеді. Сөйтіп (,^ )≠(,^ )

3.2. Вектордың осьтегі проекциясы. Оң бағыты көрсетілген түзуді ось дейді.

Вектор мен ось арасындағы бұрыш деп вектормен осьтің бірлік векторы арасындағы бұрышты айтады.

а) 14-сурет б)

Вектор - ның осіндегі ортогонал проекциясы деп вектор ұштарынан осіне түсірілген перпендикулярдың табандарын

жалғайтын бағытталған кесіндінің шамасын айтады

(14-а сурет). Оны Пр_u деп жазатын боламыз.

Егер вектормен ось арасындағы бұрыш φ болса, онда Пр_u =| | cosφ(3.1) болады.

Егер екі вектор берілсе (14-б сурет), -ның -дағы проекциясын табу үшін -ның ұшынан -ға перпендикуляр түсіру керек, ал -ның -дағы проекциясын табу үшін -ның ұшынан жатқан оске перпендикуляр түсіру керек.

Сонда Пр = | | cos φ, Пр = | | cos φ(3.2), болады.

3.3. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі. Екі векторлардың скаляр көбейтіндісі деп сол векторлардың ұзындықтары мен арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең болатын санды айтады, оны деп белгілейді.

=| | | | cos( ^ ) (3.3)

Бұған вектор проекциясы (3.2.) формуланы қолдансақ

=| | Пр = Пр (3.4)

Бұл формулалардан төмендегі тұжырымдардың дұрыстығы шығады.

1⁰. Егер = болса, (,^ )=0⁰ болар еді. Сондықтан (3.3)-тен

= | || | cos0⁰=| |². Сөйтіп | |² немесе | |= ² (3.5).

Сонымен вектор ұзындығын табу үшін оны квадраттап нәтижесінен квадрат түбір табу керек екен.

2⁰. Егер (векторлар ортагонал) болса, онда ( ^ )=90⁰

болады да (3.3) тен = | || | cos 90⁰= | || |·0=0. Сөйтіп

=0 (3.6)

Сонымен ортагонал векторлардың скаляр көбейтіндісі 0-ге тең болады екен. Сондықтан (3.6)-ны екі вектордың ортагонал болу белгісі деп қарастыруға болады.

3⁰. (3.3)-тен екі вектор арасындағы бұрышты табу формуласы шығады. cos( ^ )= (3.7).

Сонымен екі вектор арасындағы бұрыштың косинусын табу үшін ол векторлардың скаляр көбейтіндісін ұзындықтарының көбейтіндісіне бөлу керек екен.

3.4. Векторлардың скаляр көбейтіндісін сол векторлардың координаталары арқылы өрнектеу.

Ортонормаланған , , базисі, ол базисте =а₁ + а₂ + а₃ =в₁ +в ₂ +в₃ векторлар берілсін. Ортанормаланған базисте | |= | | =| |=1, 1 , 1 , 1 екенін ескерсе отырып бұл векторлардың скаляр көбейтінділерін анықтайық. (3.3) бойынша.

· =| | | | cos0⁰=1·1·1=1; · = | || | = cos0⁰=1·1·1=1;

· =| || |=cos0⁰=1·1·1=1;

Ал, =| | | | cos 90⁰ =1·1·0=0; =| || | cos 90⁰=1·1·0=0; = | | | | cos 90⁰=1·1·0=0;

Сонымен · = · = · =1 (3.8) = = =0 (3.9). Осыларды ескере отырып мен -ны көбейтейік.

=(а₁ + а₂ + а₃ ), (в₁ +в ₂ +в₃ )=а, в, +а₂ в, · +а₃ в, + а₁в₂ + а₂ в₂ ²+ а₃в₂ + а₁в₃ + а₃в₃ ²= а₁в₁+ а₂ в₂+ а₃в₃ қалғандары О болады.

= а₁в₁+ а₂ в₂+ а₃в₃ (3.10)

Сонымен координаталары арқылы берілген екі вектордың скаляр көбейтіндісі сол векторлардың сәйкес координаталарының көбейтіндісінің қосындысына тең болады.

Сонда = болса а₁=в, а₂=в₂ а₃=в₃ болғандықтан (3.5),(3.10) бойынша | |= (3.11).

Вектор ұзындығын табу үшін координаталарын квадраттап қосып, нәтижесінен квадрат түбір табу керек.

Егер болса (3.6), (3.10) бойынша

=а₁в₁+ а₂ в₂+ а₃в₃=0 (3.12)

Дата добавления: 2015-12-08