Векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігі. Векторлық кеңістік және оның базисі. Берілген базистегі вектор координаталары. 1 страница

2.1. Векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігі мен тәуелсіздігі. Векторлар жүйесі , берілсін. Мына өрнек (мұндағы нақты сандар) берілген векторлар жүйесінің сызықтық комбинациясы делінеді, -лар

комбинация коэффициенттері делінеді.

Векторлар жүйесінің сызықтық комбинанациясы оның барлық коэффициенттері түгелдей О болғанда ғана -ге айналатын болса, ол жүйе сызықтық тәуелсіз делінеді, ал ең болмағанда бір коэффициенті О болмаса да - ге айналатын болса сызықтық тәуелді делінеді.

Векторлар жүйесінің сызықтық тәуелді немесе тәуелсіз болуы жайлы төмендегі тұжырымдар дұрыс болады.

1⁰. Берілген векторлар жүйесі (*) кезінде нөлдік вектор болса, ол жүйе сызықтық тәуелді болады. Өйткені - дік вектор коэффициентін етіп, қалғандарын о етіп алсаң сызықтық комбинациясы болады:

2⁰. Берілген векторлар жүйесінің бір векторы қалғандарының сызықтық комбинациясына тең болса, ол жүйе сызықтық тәуелді болады.

Өйткені болса болады және мұның ең болмағанда бір коэффициенттінің нөлге тең емес екені анық.

3⁰. Бір вектордан тұратын жүйе ол вектор нөлдік вектор болса сызықтық тәуелді болады.

Өйткені теңдігі k 0 болса да орындалады.

4⁰. Берілген векторлар жүйесінің бір бөлігі (мысалы k<n вектор) сызықтық тәуелді болса, онда бүкіл жүйеде сызықтық тәуелді болады.

Өйткені k вектор сызықтық тәуелді болғандықтан мына комбинацияның ең болмағанда бір коэффициенті о емес. Сондықтан қалған n-k векторды бұған о коэффициентпен тіркеп жазғаннан теңдік өзгермейді.

және мұның ең болмағанда бір коэффициенті о емес.

5⁰. Егер векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз болса, онда оның кез келген бөлігінде сызықтық тәуелсіз болады.

Өйткені керісінше сызықтық тәуелді болады десек 4⁰ бойынша бүкіл жүйе сызықтық тәуелді болар еді.

6⁰. Екі вектордан тұратын жүйе олар коллинеар болған жағдайда ғана сызықтық тәуелді болады.

Өйткені мен екі вектор коллинеар болса, онда = болу керек. Бұдан коэффициенті . Сондықтан мен сызықтық тәуелді.

Егер мен сызықтық тәуелді болса комбинация коэффициентінің кемінде біреуі нөл емес, дейік. Онда , ал бұл мен коллинеар деген сөз.

Салдар. мен коллинеар болмаса, онда олар сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесін құрайды.

2-1. Теорема. Егер мен коллинеар болмаса, онда бұларға коллинеар болатын кез келген вектор мен жіктеледі және ондай жіктелу біреу-ақ болады (яғни бір мәнді жіктеледі).

Дәлелі. мен коллинеар емес, компланар векторлар болсын. Онда олар бір жазықтықта жатады.

Бір О нүктеден , , , векторларды өлшеп салайық. Сонда мен коллинеар болмағандықтан А,О,В нүктелер бір түзуде жатпайды (8-сурет).

9-сурет

а) С нүкте ОА, ОВ түзулерде жатпасын. С нүктеден ОА,ОВ түзулеріне параллель жүргізсек А₁,В₁ нүктелер табылады. болсын. Сонда болғандықтан (2-1) болып вектор мен векторларға жіктеледі. вектор мен векторларға бұдан басқа түрде болып жіктеледі дейік. Бұл жіктелуді бір – бірінен алсақ болар еді және мен коллинеар болмағандықтан сызықтық тәуелсіз болады. Сондықтан болу керек. Бұдан болып екі жіктелу бірдей болып шығады екен.

б) Егер С нүкте ОА түзуінде жатса, онда болар еді. Мұны деп жазуға болады. Демек бұл кезде де вектор мен векторға бірмәнді жіктеледі.

Сөйтіп , векторларға компланар болатын кез келген вектор оларға тек бір жолмен (2-1) түрде жіктеледі екен. Сондықтан (2-1) ді үш вектордың компланар болу белгісі (жарты) деп қарастыруға болады.

7⁰. Дәлелденген теоремадан үш вектордан тұратын жүйе олар компланар болған жағдайда ғана сызықтық тәуелді болады деген қорытынды жасауға болады.

Шынында да векторлар сызықтық тәуелді болса комбинацияның ең болмағанда бір коэффициенті О емес. Мысалы дейін. Онда соңғы теңдікті деуге болады. Бұл векторлар компланар деген сөз.

Егер компланар болса деуге болады. Бұдан . Бұл комбинацияда бір коэффициентің О еместігі ақиқат. Демек сызықтық тәуелді болады.

Салдар. Компланар емес үш вектор сызықтық тәуелсіз болады.

2.2. Теорема. Егер векторлар компланар болмаса онда кеңістіктің кез келген векторы буларға жіктеледі және ондай жіктелу жалғыз-ақ болады.

Дәлелеі. векторлар компланар болмасын. Онда бір О нүктеден , , , векторларды өлшеп салсақ О₁А₁В₁С нүктелер бір жазықтықта жатпайды (9-сурет). Кеңістіктің кез келген векторын алып, онда О нүктеден өлшеп салайық. Ол болсын.

М нүктеден вектор жатқан ОС түзуге параллель жүргізейік, ол векторлар жатқан жазықтықпен М₀ нүкте қиылыссын.

Ол нүктеден , , жатқан ОА₁ОВ түзуге параллель жүргізейік. Олар А₁В₁ нүктеде қиылыссын, М₀М=ОС₁ болсын.

Сонда болар еді.

Ал, мен мен мен коллинеар болғандықтан = , , болатын сандар табылады. Орнына қойсақ (2-2) болып вектор векторларға жіктеледі. Егер ол оларға (2-2)-ден басқа түрде былайша да жіктеледі десек, сөйтіп бір-бірінен алсақ шығар еді. Ал, компланар болмағандықтан олар сызықтық тәуелсіз. Сондықтан болу керек, яғни . Демек екі жіктелу бірдей екен.

Егер вектор -ның бірімен, мысалы мен коллинеар болса болады. Мұны былайша жазуға болады, . Сөйтіп бұл кезде де вектор векторлары бірмәнді жіктелді.Сөйтіп кеңістіктің кез келген векторы компланар емес векторға жіктеледі екен және ондай жіктелу біреу-ақ болады екен.

9-сурет

2-3. Теорема. Үштен көп вектордан тұратын жүйе сызықтық тәуелді болады:

Дәлелі. Төрт вектор , берілсін. Егер , компланар болмаса онда 2-2 теорема бойынша = + + болып жіктеледі. Бұдан + = және . Сондықтан төрт вектор сызықтық тәуелді болады. Сондықтан 4⁰ қасиет бойынша 5,6,...,n,... вектордан тұратын жүйелерде сызықтық тәуелді болады.

2.2. Векторлық кеңістік. Біз элементтері-векторлар үшін векторларды қосу және векторларды санға көбейту амалдары орындалатын және ол амалдар төмендегі 8 талапқа бағынатын векторлар жиыны V=W/ -ны құрдық.

1⁰. 5⁰.

2⁰. 6⁰.

3⁰. 7⁰.

4⁰. 8⁰.

Осы векторлар жиынын векторлық кеңістік дейді. Белгілі тәртіпте алынатын В векторлар жүйесін бұл кеңістік базисі делінеді, егерде ол жүйе:

1-ден, сызықтық тәуелсіз болса.

2-ден, кеңістік V-ның кез келген векторы В векторлар жүйесінің сызықтық комбинациясы болатын болса.

Базиске енетін векторларды базистік векторлар дейді, ал ол векторлардың санын кеңістік өлшемі дейді.

Біз құрған V=W/ кеңістік үшін белгілі тәртіпте (ретте) қарастырылатын өзара компланар емес кез келген үш вектор базис болады.

Шынында да компланар емес үш вектордан тұратын жүйе болса, 2.1-дегі 7⁰-нің салдары бойынша бұл үш вектор сызықтық тәуелсіз болады және 2.2, Теорема бойынша бұл кеңістіктің кез келген векторы бұл векторларға бірмәнді жіктеледі. Сондықтан жүйе базис болады.

2-3 Теорама бойынша үш вектордан артық векторлардан тұратын базис болмайды, өйткені олар сызықтық тәуелді болады.

V=W/ кеңестік үшін үш вектордан аз вектордан тұратын базисте болмайды. Шынында да екі вектордан тұратын базис болады десек, кеңістіктің кез келетін векторы базистік векторға жіктелетіндіктен болар еді.

Сондықтан кеңістіктің мұндай болатын кез келген векторы мен жатқан жазықтыққа параллель болады. Ал кеңістіктің барлық векторы бір жазықтыққа параллель болуы мүскін емес. Сондықтан базис деген дұрыс емес.

Сонымен элементтері жоғары да келтірілетін 1⁰-8⁰ талаптар бағынатын векторлар жиынының базисі өзара компланар емес кез келген үш вектордан тұрады. Сондықтан V=W/ кеңістік 3 өлшенеді кеңістік болады, оны V₃ арқылы белгілейік.

Оның базисі болса, онда -ді оның бірінші -ні екінші ті үшінші базистік векторы дейді. Сондықтан мен әр түрлі базистер болады.

2.3 Берілген базистегі вектор координаталары. Егер базистік векторлар болса, олар кеңістікте 10-суреттегідей екі түрлі орналасуы мүмкін.

О нүктеден қарағанда -дің ұшынан ұшына одан, -тің ұшына одан қайтадан ұшына келу жолының қозғалыс бағыты 10 –а суретте сағат тілі қозғалысына кері 10-б суретте сағат тілі қозғалысындай. Оның біріншісін (10-а сурет) оң базис екіншісін сол базис дейді. Біз оң базисті қолданамыз.

Дата добавления: 2015-12-08