Математическое описание обобщенной асинхронной машины 4 страница

Рис. 1.49. Результат моделирования процесса преобразования вращающихся координат в неподвижные

То же уравнение в системе координат, вращающейся со скоростью

ротора ωr, когда ωk = ωr и γ = ωrt, согласно второму уравнению (1.21):

;

U S = U Sk e ^j^ω^r^t

i S = i Sk e ^j^ω^r^t;

Ψ S =Ψ Sk e ^j^ω^r^t

будет иметь вид:

Sk e^j ^ωr ^t +

d (

Sk e ^j^ωr^t )

Ψ

.

U

Sk e ^j^ω r ^t = ri

(1.26)

dt

Распишем производную сложной функции –

d (Ψ Sk e ^j^ω^r^t)

jω

t

j ω t d Ψ Sk

=

jωr Ψ Sk e

r

+ e

r

dt

dt

– и подставим в выражение (1.26):

jω

t

j ω

t

j ω

t

j ω

t

d Ψ Sk

U Sk e

r

= ri Sk e

r

+ jωr Ψ Sk e

r

+ e

r

.

dt

Сократив левую и правую части данного выражения на e^jωkt, окон_ чательно получим уравнение электрического равновесия во вращаю_ щейся системе координат:

		d Ψ Sk
	U Sk = ri Sk	+		+ jωr Ψ Sk,	(1.27)
	dt
где U ^6 Sk, согласно первому выражению (1.21), следует определить как
						(1.28)
U Sk = U S e ^− ^j^ω r ^t = U m e ^j^ω 0 ^t e ^− ^j ^ωr ^t = U m e ^j ^( ^ω 0^− ω r ^) t.

В приведенном уравнении (1.27) индекс k указывает на замену пе_ ременных в связи с переходом к новой системе координат. В дальней_ шем, если переход к новой системе координат поясняется сопровож_ дающим текстом, индекс k для упрощения записи будет опущен. При этом пространственный вектор будет определен как выражение (1.28).

В теории электромагнитных переходных процессов электрических машин применяются обычно три координатные системы, являющиеся

частными случаями координатной системы, вращающейся с произволь_ ной скоростью ω_k: система координат d, q, неподвижная относительно ро_ тора и вращающаяся вместе с ротором (ω_k = ω_r); система координат α, β, неподвижная относительно статора (ω_k = 0); система координат х, у, вра_ щающаяся в пространстве с произвольной скоростью ω_k. Замена пере_ менных в уравнениях электрического равновесия машины производится

с целью исключения периодически изменяющихся коэффициентов в уравнениях потокосцеплений. Достижение поставленной цели возможно только в том случае, если новая система координат неподвижна относи_ тельно цепей, обладающих электрической или магнитной несимметрией.

Поэтому систему координат d, q используют преимущественно для исследования режимов синхронных машин, а систему α, β – для иссле_ дования режимов асинхронных машин. Систему координат х, у целесо_ образно использовать только для исследования симметричных режимов асинхронных машин, если ее применение приводит к упрощению опи_ саний возмущающих воздействий. Например, пространственный вектор

питающего двигатель напряжения в системе координат α, β имеет вид:

U S = U _m e ^{jω 0 t},

а при переходе к системе координат х, у, вращающейся со скоростью ω_k = ω ₀,₆это напряжение, согласно соотношению (1.21), преобразуется к виду U_S = U_m.

Рассмотрим описание процессов абсолютных единиц. Обобщенная асинхронная машина показана на рис. 1.50. Машина

содержит трехфазную обмотку на статоре и трехфазную обмотку на рото_ ре. Обмотки статора и ротора подключены к симметричным трехфазным источникам напряжения. Уравнения равновесия ЭДС на обмотках ста_ тора и ротора базируются на втором законе Кирхгофа [2].

								Рис. 1.50. Обобщенная
								асинхронная машина
		Äëÿ ñòàòîðà	Äëÿ ðîòîðà
u	A	= R i +		d Ψ A	,	u = R i +	d Ψ a	,
	A A		dt	a	a a	dt
u	B	= R i +		d Ψ B	,	u = R i +		d Ψ b	,
	B B		dt	b	b b	dt
u	C	= R i +	d Ψ C	,	u	= R i +	d Ψ c	.	(1.29)
	C C		dt	c	c c	dt

В уравнениях (1.29) фигурируют мгновенные напряжения, токи и потокосцепления статора и ротора, а также активные сопротивления обмоток. Обычно обмотки выполняются симметричными, и поэтому R_A = R_B = R_C = R_S – активное сопротивление статорной обмотки, R_a = R_b = R_с = R_R – активное сопротивление роторной обмотки.

Вторым используемым законом является закон Ампера, который связывает потокосцепления обмоток с токами, протекающими по об_

моткам:

Äëÿ ñòàòîðà

Ψ _A = L_AA i_A + L_AB i_B + L_AC i_C + L_Aa i_a + L_Ab i _b + L _Ac i_c,

^Ψ B ^= ^LBA ^iA ^+ ^LBB ^iB ^+ ^LBC ^iC	^+ ^LBa ^ia	+ LBb i b + L Bc ic,
^Ψ C ^= ^LCA ^iA ^+ ^LCB ^iB ^+ ^LCC ^iC	+ LCa ia	+ LCb i b + L Cc ic.

Äëÿ ðîòîðà

^Ψ a ^{= L}aA ⁱA ^{+ L}aB ⁱB ^{+ L}aC ⁱC ^{+ L}aa ⁱa Ψ _b = L_bA i_A + L_bB i_B + L_bC i_C + L_{b a} i_a Ψ _c = L_cA i_A + L_cB i_B + L_cC i_C + L_ca i_a

+ L_ab i _b + L _ac i_c,

+ L_bb i _b + L _bc i _c,

+ Lcb i b + L cc ic.

(1.30)

Уравнения для определения потокосцеплений показывают, что потокосцепление каждой обмотки зависит от токов во всех обмотках; эти зависимости проявляются через взаимоиндукцию. В уравне_ ниях (1.30) L_АА, L_ВВ, L_СС, L_aa, L_bb, L_cc являются собственными индуктивно_ стями соответствующих обмоток, все остальные – взаимоиндуктивно_ стями между соответствующими обмотками.

Третьим законом, лежащим в основе анализа электромагнитных процессов в асинхронном двигателе, является второй закон Ньютона –

закон равновесия моментов на валу машины:
	dω
J		m	= M	− M c,	(1.31)
dt

где J – момент инерции на валу машины, учитывающий инерционность как самой машины, так и приведенной к валу инерционности рабочего механизма и редуктора, кГм²; ω ⁶ _m – угловая скорость вала машины, рад/с; М_c – момент сопротивления рабочего механизма, приведенный к валу, вобщем случае он может быть функцией скорости и угла поворота, Н^.м.

Наконец, четвертым и последним законом, лежащим в основе ана_ лиза машины, является сформулированный Ленцем закон «правило ле_ вой руки». Этот закон связывает векторные величины момента, пото_

косцепления и тока:
	Ì	= k (Ψ i).	(1.32)

Отметим, что, несмотря на полное и строгое математическое опи_ сание, использование уравнений (1.29)–(1.32) для исследования маши_ ны встречает серьезные трудности.

Перечислим основные:

• в уравнениях (1.31 и 1.32) фигурируют векторные величины, а в уравнениях (1.29 и 1.30) – скалярные;

• количество взаимосвязанных уравнений равно 16, а количество коэффициентов – 44;

• коэффициенты взаимоиндукции между обмотками статора и рото_ ра в уравнениях (1.30) являются функцией угла поворота ротора относительно статора, то есть уравнения (1.30) являются уравне_ ниями с переменными коэффициентами;

• уравнение (1.32) является нелинейным, так как в нем перемножа_ ются переменные.

На пути упрощения математического описания асинхронной ма_

шины, да и вообще всех машин переменного тока, удачным оказался метод пространственного вектора [4], который позволил существенно упростить и сократить вышеприведенную систему уравнений; метод по_ зволяет связать уравнения (1.29)–(1.32) в единую систему с векторными переменными состояния. Суть метода состоит в том, что мгновенные значения симметричных трехфазных переменных состояния (напряже_ ния, токи, потокосцепления) можно математически преобразовать так, чтобы они были представлены одним пространственным вектором.

Для преобразования уравнений (1.29) в мгновенных значениях к уравнениям в пространственных векторах, умножим их на выражения: первые уравнения для фаз А и а на 2/3, вторые для фаз B и b – на 2/3, третьи для фаз С и с – на 2/3 a ⁶², и сложим раздельно для статора и рото_

ра. Тогда получим:
	d Ψ S
u S = R iS +				,
dt
	S
	d Ψ R
u R = R iR +				,
	R		dt
Ψ S = L i S	+ L (θ) iR,
	S		m
Ψ R = LR i R + Lm (θ) iS,	(1.33)

где L_S, L_R – собственные индуктивности статора и ротора; L_m (θ) – вза_ имная индуктивность между статором и ротором. Таким образом, вме_ сто двенадцати уравнений (1.29), (1.30), получено лишь четыре уравне_ ния (1.33).

Переменные коэффициенты взаимной индукции в уравнениях для потокосцеплений (1.33) являются результатом того, что уравнения рав_ новесия ЭДС для статора записаны в неподвижной системе координат, связанной со статором, а уравнения равновесия ЭДС для ротора – во вращающейся системе координат, связанной с ротором. Метод про_ странственного вектора позволяет записать эти уравнения в единой си_ стеме координат, вращающейся с произвольной скоростью ω_k. В этом случае уравнения (1.33) преобразуются к виду:

d Ψ S

u S

= R i S +

+ jω Ψ S,

S

dt

k

d Ψ R

u R = R i R +

+ j (ω − pω

) Ψ R,

R

dt

k

m

Ψ S = L i S + L iR,

S

m

Ψ R = LR i R

+ Lm iS,

(1.34)

Дата добавления: 2015-12-07