Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпос­ледней цифре шифра, а номер условия в таблице - по последней.

Каждое задание выполняется в отдельной тетради. На обложке указываются: название дисциплины, номер шифра, фамилия и ини­циалы студента, учебный шифр, факультет, специальность и адрес.

Решение каждой задачи следует начинать на развороте страницы. Сверху указывается номер задачи, далее делается чертеж и записывается, что в задаче дано и что требуется определить (текст задачи не переписывать). Чертеж выполняется с учетом условий решаемого варианта задачи; на нем все углы, действующие силы; число тел и их расположение на чертеже должны соответствовать этим условиям.

Чертеж должен быть аккуратным и достаточно крупным, на нем должны быть ясно показаны все силы и векторы скоростей и уско­рений и др. Решение задач необходимо сопровождать краткими пояс­нениями (какие формулы или теоремы применяются, как получаются те или иные результаты).

Работы, не отвечающие перечисленным требованиям, не про­веряются и возвращаются на переделку.

При решении задач надо учесть, что все нити (веревки, тросы) считаются нерастяжимыми и невесомыми, нити, перекинутые через блок, не скользят, катки и колеса (в кинематике и динамике) катят­ся по плоскостям без скольжения. Все связи, если не сделано огово­рок, считаются идеальными

Следует учесть, что некоторые из величин, заданных в условиях задач, при решении отдельных вариантов могут не понадобиться, они нужны при решении других вариантов задачи.

ЛИТЕРАТУРА

Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - 3- е изд. - М., 1963 и последующие издания.

Теоретическая механика: Метод. указания и контроль, задания / Под ред. С.М. Тарга. - 3-е изд. - М., 1983 и последующие издания.

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ

Контрольная работа №1

СТАТИКА

Задача С1

Жесткая рама (рис. С1.0–С1.9, табл. С1) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках.

В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок н не­сущий на конце груз весом Р =25 кН. На раму действует пара сил с моментом М= 60кН·м и две силы, значения, направления и точки приложения которых указаны в таблице (например, в условиях №1 на раму действуют сила F₂ под углом 15° к горизонтальной оси, приложенная в точке D,и сила под углом 60° к горизонталь­ной оси, приложенная в точке Е и т.д.).

Определить реакции связей в точках А, В,вызываемые дейст­вующими нагрузками. При окончательных расчетах принять α =0,5 м.

Указания. Задача С1 – на равновесие тела под действием про­извольной плоской системы сил. При ее решении учесть, что на­тяжения обеих ветвей нити, перекинутой через блок, когда трением пренебрегают, будут одинаковыми. Уравнение моментов будет бо­лее простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей. При вычислении момента силы часто удобно разложить ее на составляющие и , для которых плечи легко определяют­ся, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда .

Таблица C1

Силы
F1 =10 кН	F 2=20 кН	F3 =30 кН	F4 =40 кН
Номер условия	Точка приложе­ния	α1 град	Точка приложе­ния	α2, град	Точка приложе­ния	α3, град	Точка приложе­ния	α4, град
	Y		—	—	—	—	К
	—	—	D		Е		—	—
	K		—	—	—		Е
	—	—	К		Н		—	—
	D		—	—	—	—	Е
	—	—	H		—	—	D
	Е		—	—	К		—
	—	—	D		—	—	Н
	Н		—	—	D		—	—
	—	—	Е		К		—	—

Рис. С1.0	Рис. С1.1
Рис. C1.2	Рис. С1.3
Рис. С1.4	Рис. С1.5
Рис. С1.6	Рис. С1.7
Рис. С 1.8	Рис. С1.9

Пример С1. Жесткая пластина ADCD (рис. C1) имеет в точке A неподвижную шарнирную опору, а в точке В – подвижную шар­нирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны па рисунке.

Дано: F =25 кН, α =60°, P =18 кН, γ =75°, M =50 кН·м, β =30°, a =0,5 м. Определить: реакции в точках А и В, вы­зываемые действующими на­грузками.

Рис. C1

Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Про­ведем координатные оси ху и изобразим действующие на пластину силы: силу ,пару сил с моментом M, на­тяжение троса (по модулю Т=Р) и реакции связей , , (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изо­бражаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравне­ния равновесия. При вычислении момента силы относительно точки A воспользуемся теоремой Вариньона, т. е. разложим силу на составляющие , (, ) и учтем, что . Получим:

, ; (1)

, ;(2)

, . (3)

Подставив в составленные уравнения числовые значения задан­ных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции. Ответ: Х_А =–8,5 кН; Y_А =–23,3 кН; R_в =7,3 кН. Знаки указыва­ют, что силы и направлены противоположно показанным на рис. С1.

Задача С2

Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, кото­рые в точке C или соединены друг с другом шарнирно (рис. С2.0–С2.5), или свободно опираются друг о друга (рис. С2.6–С2.9). Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точ­ке А или шарнир, или жесткая заделка; в точке B или невесомый стержень BB' (рис. 0 и 1), или гладкая плоскость (рис. 2 и 3), или шарнир (рис. 4–9); в точке D или невесомый стержень DD' (рис. 1, 2, 7), или шарнирная опора на катках (рис. 9).

На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом М= 60кН·м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q =20 кН/м и еще две силы. Эти силы, их направления и точки при­ложения указаны в табл. С2; там же в столбце «Участок» указано, на каком участке действует распределенная нагрузка (например, в условиях № 1 на конструкцию действуют сила под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке L, сила под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке Е, и нагрузка, распре­деленная на участке СК).

Определить реакции связей в точках А, В, С (для рис. 1, 2, 7, 9 еще и в точке D), вызванные заданными нагрузками. При оконча­тельных расчетах принять а =0,2 м. Направление распределенной нагрузки на различных по расположению участках указано в табл. С2а.

Указания. Задача С2 – на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При ее решении можно или рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем – равновесие одного из тел системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и рассмотреть равновесие каждого из тел в отдельности, учтя при этом закон о равенстве действия и противо­действия. В задачах, где имеется жесткая заделка, учесть, что ее реакция представляется силой, модуль и направление которой - неиз­вестны, и парой сил, момент которой тоже неизвестен.

Таблица С2

Сила					Участок
F1 = l0 кН	F2 =20 кН	F3 =30 кН	F4 =40 кН
Номер условия	Точка приложе­ния	α1, град	Точка приложе­ния	α2, град	Точка приложе­ния	α3, град	Топка приложе­ния	α4, град
	К		—	—	H		—	—	CL
	—	—	L		—	—	Е		CK
	L		—	—	К		—	—	АЕ
	—	—	К		—	—	Н		CL
	L		—	—	Е		—	—	CK
	—	—	L		—	—	К		АЕ
	Е		—	—	К		—	—	CL
	—	—	H		L		—	—	CK
	—	—	K		—	—	Е		СЕ
	H		—	—	—	—	L		СК

Таблица С2а

Участок на угольнике	Участок на стержне
горизонтальный	верти­кальный	рис.1, 2, 4, 7, 9	рис. 0, 3, 5, 6, 8

Рис. С2.0	Рис. С2.1
Рис. С2.2	Рис. С2.3
Рис. С2.4	Рис. С2.5
Рис. C2.6	++++ Рис. C2.7
Рис. С2.8	Рис. С2.9

Пример С2. На угольник ABC (), конец A которого жестко заделан, в точке C опирается стержень DE (рис. С2, а).

Рис. С2

Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору и к нему приложена сила ,а к угольнику –равномерно распределенная на участке KB нагрузка интенсивности q и пара с моментом М.

Дано: F =10 кН, M =5 кН·м, q =20 кН/м, α =0,2 м. Определить: реакции в точках А, С, D,вызванные заданными нагрузками.

Решение. 1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня DE (рис. С2, б).Прове­дем координатные оси ху и изобразим действующие на стержень си­лы: силу ,реакцию ,направленную перпендикулярно стержню, и составляющие и в реакции шарнира D. Для полученной плос­кой системы сил составляем три уравнения равновесия:

, ; (1)

, ; (2)

, .(3)

2. Теперь рассмотрим равновесие, угольника (рис. С2, в). На него действуют сила давления стержня , направленная противо­положно реакции , равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой ,приложенной в середине участка KB (численно ), пара сил с моментом М и реакция жесткой за­делки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими , , и пары с моментом М_A. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

, ; (4)

, ; (5)

, (6)

При вычислении момента силы разлагаем ее на составляю­щие и и применяем теорему Вариньона. Подставив в состав­ленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (1) – (6), найдем искомые реакции. При реше­нии учитываем, что численно N'=N в силу равенства действия и противодействия. Ответ: N =21,7 кН, Y_D =–10,8 кН; X_D = 8,8кН, X_A =–26,8 кН, У_A =24,7 кН, M_A =–42,6 к·Нм.

Знаки указывают, что силы , и момент направлены противоположно показанным на рисунках.

Задача СЗ

Однородный стержень весом Р= 24Н прикреплен шарнирно к невесомым ползунам 1 и 2(рис. С3.0–С3.9, табл. С3), Коэффи­циенты трения ползунов о направляющие, вдоль которых они могут скользить, равны соответственно f₁ и f₂. К ползунам приложены силы Q₁ и Q₂, показанные на рисунках. Механизм расположен в вертикальной плоскости.

Определить величину, указанную в таблице в строке «Найти», где обозначено: (или ) – наименьшее значение силы Q₁ (или Q₂), при котором имеет место равновесие; (или – наи­большие значения тех же сил, при которых сохраняется равновесие; (или ) – наименьшее значение коэффициента трения, при кото­ром сохраняется равновесие.

Указания. Задача С3 – на равновесие тела под действием плос­кой системы сил при наличии трения скольжения. При решении за­дачи следует рассмотреть предельное положение равновесия, когда . Уравнения равновесия решаются проще, если их составить в виде уравнений моментов относительно точек, где пересекаются линии действия двух неизвестных сил (вместо одного из таких уравнений можно составить уравнение проекций на ось, перпенди­кулярную неизвестной силе).

Условие f₁ =0 (или f₂ =0) означает, что ползун 1 (или 2) глад­кий; соответствующую силу трения на чертеже не изображать и в уравнения не вводить (введение этой силы, с тем чтобы потом по­ложить f =0, сильно усложнит решение).

Таблица С3

Номер условия
Q1, H		—			—	—			—
Q2, Н	—			—			—			—
f1		0,15		0,2		0,2		—		0,15
f2	0,2		—		0,15		0,15		0,2
Найти

Рис. С3.0	Рис. С3.1
Рис. С3.2	Рис. С3.3
Рис. С3.4	Рис. С3.5
Рис. С3.6	Рис. С3.7
Рис. С3.8	Рис. С3.9

Пример С3. Жесткий угольник ADB весом Р (). расположенный в вертикальной плоскости, прикреплен шарнирами кползунам 1 и 2 (рис. С3). Линия действия силы Р проходит на расстоянии h от стороны АО. В се­редине стороны AD приложена го­ризонтальная сила Q. Коэффици­ент трения ползуна / о направля­ющие равен f;ползун 2 гладкий.

Дано: Р =40 Н, BD=b= 0,8 м, h =0,3 м, а =0,2 м, f₁ =0,3. Угол между направляющими 120°. Определить: Q" –наибольшее значение силы Q, при котором со­храняется равновесие.

Рис. С3

Решение. 1. Рассмотрим пре­дельное равновесие угольника, при котором Q=Q". Изображаем действующие на угольник силы , , нормальные реакции , и пре­дельную силу трения , прило­женную к ползуну 1.

То, что сила имеет наиболь­шее возможное числовое значение, означает, что при ее дальнейшем увеличении равновесие нарушится и под действием силы ползун 1 начнет скользить влево, а ползун 2 – вверх. Следовательно, при равновесии сила , удерживающая ползун 1 от скольжения влево, направлена вправо (направление силы при решении подобной задачи надо обязательно устано­вить и показать это направление на рисунке верно).

2. Так как сила трения, выражающаяся через нормальную ре­акцию, действует лишь на ползун 1, то реакцию N₂ можно не опре­делять и составить только два уравнения равновесия, вкоторые N₂ не войдет. Для этого проведем сначала линии действия неизвест­ных реакций и до их пересечения в точке Е и составим урав­нение , в которое N₁ и N₂ не войдут. Получим, полагая Q=Q":

,(1)

где . Тогда при заданных значениях h и а уравнение (1) примет вид

,

откуда находим

. (2)

Равенство (2) не может дать f_тр <0, поскольку направление си­лы было заранее установлено и показано на рис. С3 верно. Следовательно, должно быть

или . (3)

Для определения N₁ можно составить или уравнение моментов относительно точки, где пересекаются линии действия сил и , или уравнение проекции на ось, перпендикулярную . Составим, проведя ось Вх, уравнение .Получим

. (4)

Отсюда, заменяя F,_v его значением (2), найдем окончательно

(5)

Для определения Q" учтем, что когда равновесие является пре­дельным, то F_тр и N₁ связаны соотношением

. (6)

Подчеркиваем, что в это равенство входят модули сил. В нашем случае ,так как было установлено, что F_тр >0 и дается равенством (2). Но утверждать, что в равенстве (5) N₁ >0 нет ос­нований, так как направление может быть и противоположно по­казанному на рис. С3. Поэтому рассмотрим оба возможных случая:

а) N₁ >0 (реакция направлена так, как показано на рис. С3). Тогда, подставляя в (6) значения F_тр и N₁ из (2) и (5) н уч­тя, что f =0,3, получим

,

откуда находим

. (7)

б) N₁ <0 (направление противоположно показанному на рис. С3). Тогда и равенство (6) дает

,

откуда

. (8)

Из полученных результатов (7) удовлетворяет неравенству (3), а (8) не удовлетворяет. Следовательно, окончательный ответ .

Примечания: 1. Если в задаче требуется найти наименьшее зна­чение силы , при котором сохраняется равновесие, то это озна­чает, что при дальнейшем уменьшении силы она не удержит угольник в равновесии и под действием силы ползун 2 начнет скользить вниз, а ползун 1 – вправо; следовательно, в этом случае сила F_тр,удерживающая ползун 1 от скольжения вправо, будет на­правлена влево (противоположно показанной на рис. С3). В ос­тальном весь ход решения остается таким же, как в рассмотренном примере.

2. Если в задаче все действующие силы заданы и надо найти наименьший коэффициент трения , при котором сохраняется рав­новесие, то силу (как и реакции) можно направлять в любую сторону и, составив уравнения равновесия, аналогичные, например, уравнениям (1) и (4) в рассмотренном примере, найти из них F_тp и N). При этом, поскольку действующие силы заданы, для F_тр и N₁ получатся конкретные числовые значения. Эти значения и следует подставить в равенство (6) и найти из него . Если при расчетах получится F_тp <0 или N₁ <0, то это означает лишь, что направление соответствующей силы противоположно показанному на рисунке, но результат не изменится, так как в (6) входят модули сил.

Задача С4

Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D (рис. С4.0 – С4.9, табл. С4). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах H, К, L или М прямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и должны быть изображены решающим задачу по данным таблицы. В узле, который в каждом столбце таблицы указан пер­вым, приложена сила P =200 Н; во втором узле приложена сила Q =100 Н. Сила Р образует с положительными направлениями коор­динатных осей х, у, z углы, равные соответственно α₁ = 45°, β₁ =60°, γ₁ = 60°, а сила Q – углы α₂ =60°, β₂ =45°, γ₂ =60°; направления осей х, у, z для всех рисунков показаны на рис. С4.0.

Грани параллелепипеда, параллельные плоскости ху –квадра­ты. Диагонали других (боковых) граней образуют с плоскостью ху угол φ =60°, а диагональ параллелепипеда образует с этой плос­костью угол Θ=51°. Определить усилия в стержнях.

На рис. С4.10 в качестве примера показано, как должен выгля­деть чертеж С4.3, если но условиям задачи узлы находятся в точках L и М,а стержнями являются LM, LA, LB; MA, MC, MD. Там же показаны углы φ и Θ.

Указания. Задача С1 – на равновесие пространственной системы сходящихся сил. При ее решении следует рассмотреть отдельно рав­новесие каждого из двух узлов, где сходятся стержни и приложены заданные силы, и учесть закон о равенстве действия и противодействия; начинать с узла, где сходятся три стержня.

Изображать чертеж можно без соблюдения масштаба, так что­бы лучше были видны все шесть стержней. Стержни следует про­нумеровать в том порядке, в каком они указаны в таблице; реакции стержней обозначать буквой с индексом, соответствующим номеру стержня (например, , и т.д.).

Таблица С4

Номер условия
Узлы	H, М	L, М	K, M	L, Н	K, H
Стержни	ИМ, НА, HB, MA, MC, MD	LM, LA, LD, MA, MB, МС	КМ, КА, KB, MA, MC, MD	LH, LC, LD, НА, НВ.НС	KH, KB, КС, НА, НС, HD
Номер условия
Узлы	M, H	L, Н	К, H	L, М	K, M
Стержни	МН, МВ, МС, НА, НС, HD	LH, LB, LD, HA, НВ, НС	КН, КС, KD, НА, НВ, НС	LM, LB, LD, MA, MB, МС	КМ, КА, KD, MA, MB, МС

Рис. С4.0	Рис. С4.1	Рис. С4.2
Рис. С4.3	Рис. С4.4	Рис. С4.5
Рис. С4.3	Рис. С4.4	Рис. С4.5
Рис. С4.6	Рис. С4.7	Рис. С4.8
Рис. С4.9	Рис. С4.10

Пример С4. Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2,..., 6,соединенных друг с другом (в узлах К и М)и с непо­движными опорами A, B, С, D шарнирами (рис. С4). В узлах К и M приложены силы и ,образующие с координатными осями уг­лы α₁, β₁, γ₁ и α₂, β₂, γ₂ соответственно (на рисун­ке показаны только уг­лы α₁, β₁, γ₁).

Рис. С4

Дано: P =100 Н, α₁ =60°, β₁ =60°, γ₁ =45°; Q =50 H, α₂ =45°, β₂ =60°, γ₂ =60°; ψ =30°, φ = 60°, δ =74°. Определить: усилия в стержнях 1 – 6.

Решение. 1. Рассмот­рим равновесие узла К, в котором сходятся стер­жни 1, 2, 3. На узел действуют сила и реак­ции , , стержней, которые направим по стержням от узла, считая стержни растянутыми. Составим уравнения рав­новесия этой пространст­венной системы сходящихся сил:

, ; (1)

; ; (2)

, . (3)

Решив уравнения (1), (2), (3) при заданных числовых значе­ниях силы Р и углов, получим: N₁ =349 Н, N₂ =–345 Н, N₃ =141 Н.

2. Рассмотрим равновесие узла М. На узел действуют сила и реакции , , , стержней. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция , направлена противополож­но , численно же . Составим уравнения равновесия:

, ; (4)

, ; (5)

, . (6)

При определении проекций силы , на оси х и y вуравнениях (4) и (5) удобнее сначала найти проекцию N₅ этой силы на плос­кость хОу (по величине ), а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на оси.

Решив систему уравнений (4), (5), (6) и учитывая, что , найдем, чему равны N₄, N₅, N₆. Ответ: N₁ =349 Н; N₂ =–345 Н; N₃ =141 Н; N₄ =50 Н; N₅ =329 H; N₆ =–66 Н. Знаки показывают, что стержни 2 и 6 сжаты; остальные – растянуты.

Дата добавления: 2015-11-26