Равенство комплексных чисел. Два комплексных числа считаются равными, если у них равны действительные

и мнимые части:

3. Действительное число как частный случай комплексного числа.

Действительное число может быть комплексным числом при условии, что мнимая часть комплексного числа будет равна нулю.

4.Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

1) Сложение.

Допустим, что , . Для того, что бы сложить два комплексных числа, нужно

сложить их мнимые и действительные части:

2) Вычитание.

Допустим, что , . Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

3) Умножение.

Допустим, что , . Тогда, зная правило умножения многочленов (учитывая нюанс, что ) комплексные числа можно перемножить: .

Соответственно .

4) Деление.

Допустим, что , .Тогда . Для того, что бы совершить операцию деления комплексных чисел, нужно числитель и знаменатель получившейся дроби умножить на сопряжено-комплексное число знаменателя – то есть на . Следовательно: ,

5. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью(координатная плоскость), при этом ось Ox называется действительной(Re), а Oy – мнимой(Im).

6. Модуль и аргумент комплексного числа. Их определение и геометрический смысл.

1) Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длинна радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или

можно найти, используя теорему Пифагора, так как численно равняется гипотенузе треугольника.

То есть: .

2) Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или

Формула для нахождения аргумента: (для правой половины координатной плоскости)

3) Геометрический смысл:

7. Тригонаметрическая форма комплексного числа. Получение и определение.

, где - значение угла(аргумент), а -.модуль комплексного числа.

8. Умножение, деление и извлечение корня из комплексного числа в тригонаметрической форме.

Формула Муавра.

Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

Здесь k - целое. Чтобы получить n различных значений корня n -ой степени из z необходимо задать n последовательных значений для k (например, k = 0, 1, 2,…, n – 1).

9.Определение мнимой степени числа «e» (экспонента) Тождество Эйлера.

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой.

Тождество Эйлера: Так же, как и в тригонометрической форме, здесь , .

10. Показательная форма комплексного числа.

Где ,

Дата добавления: 2015-11-26