Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Возведение комплексного числа в целую положительную степень.

Читайте также:
  1. W — число витков одной фазы обмотки, равное произведению числа витков одной катушки на число последовательно соединенных катушек.
  2. Астное.8 отдельно отображается ения десятичного с дробью числа, а типовой для него формат вывода может представиться неудобным
  3. Блок 1. Технологія виготовлення комплексного виробу
  4. Будь мудрой, и мужчина навсегда останется в твоих руках. Целую, моя девочка, и надеюсь на встречу в июне.
  5. Будь-яка особа, з числа вказаних вище.
  6. В результате по состоянию на 1 июля ·1997 года большая часть российских предприятий (1,9 млн., или 71,8% от общего их числа) была отнесена уже к частной форме собственности.
  7. Влияние числа частиц в ящике

Получим правило возведения в целую положительную степень из правила умножения комплексных чисел:

;

и т.д.

Можно предположить, что для любого целого положительного n справедливо:

.

Докажем это по методу математической индукции. Имеем:

1) Формула верна при n = 2 (см. выше).

2) Пусть формула справедлива при некотором n. Докажем, что она будет верна и при :

,

что и требовалось доказать.

 

Возведение комплексного числа в целую отрицательную степень.

При возведении комплексного числа в целую отрицательную степень получим:

.

Здесь была учтена формула (1.3).

 

Таким образом, справедлива формула

, где . (1.4)

Пример 4. . Найти двумя способами.

Решение. 1) Запишем комплексное число z в тригонометрической форме:

; ; ; .

.

Тогда получим

.

 

2) Найдем алгебраическим способом (на основе формулы бинома Ньютона).

.

 

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Задача извлечения корня является задачей, обратной задаче возведения в степень, так как по определению извлечь корень целой положительной степени n из комплексного числа z означает следующее: найти такое комплексное число , чтобы выполнялось равенство вида .

Пусть

; ,

тогда имеем

.

Отсюда, используя правило равенства двух комплексных чисел, получим

;

.

Таким образом, получим

. (1.5)

Очевидно, что при получим уже найденные ранее корни в силу 2π - периодичности функций и . Следовательно, корень n‑й степени из комплексного числа имеет ровно n различных значений.

Легко заметить, что все корни на комплексной плоскости будут являться вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. примеры 5, 6).

Пример 5. Вычислить .

Решение. Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

; ; ,

и воспользуемся формулой (1.5):

;

откуда получим

;

;

;

;

;

.

 

При корень совпадает с , корень с и т.д. Все найденные корни изображены на рис. 6.

Пример 6. Найти .

Решение. Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

.

Тогда по формуле (1.5) получим

;

;

;

(рис. 7).

 

 


Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 114 | Нарушение авторских прав



mybiblioteka.su - 2015-2020 год. (0.009 сек.)