Возведение комплексного числа в целую положительную степень.

Читайте также:

W — число витков одной фазы обмотки, равное произведению числа витков одной катушки на число последовательно соединенных катушек.
Астное.8 отдельно отображается ения десятичного с дробью числа, а типовой для него формат вывода может представиться неудобным
Блок 1. Технологія виготовлення комплексного виробу
Будь мудрой, и мужчина навсегда останется в твоих руках. Целую, моя девочка, и надеюсь на встречу в июне.
Будь-яка особа, з числа вказаних вище.
В результате по состоянию на 1 июля ·1997 года большая часть российских предприятий (1,9 млн., или 71,8% от общего их числа) была отнесена уже к частной форме собственности.
Влияние числа частиц в ящике

Получим правило возведения в целую положительную степень из правила умножения комплексных чисел:

;

и т.д.

Можно предположить, что для любого целого положительного n справедливо:

Докажем это по методу математической индукции. Имеем:

1) Формула верна при n = 2 (см. выше).

2) Пусть формула справедлива при некотором n. Докажем, что она будет верна и при :

что и требовалось доказать.

Возведение комплексного числа в целую отрицательную степень.

При возведении комплексного числа в целую отрицательную степень получим:

Здесь была учтена формула (1.3).

Таким образом, справедлива формула

, где . (1.4)

Пример 4. . Найти двумя способами.

Решение. 1) Запишем комплексное число z в тригонометрической форме:

; ; ; .

Тогда получим

2) Найдем алгебраическим способом (на основе формулы бинома Ньютона).

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Задача извлечения корня является задачей, обратной задаче возведения в степень, так как по определению извлечь корень целой положительной степени n из комплексного числа z означает следующее: найти такое комплексное число , чтобы выполнялось равенство вида .

Пусть

; ,

тогда имеем

Отсюда, используя правило равенства двух комплексных чисел, получим

;

Таким образом, получим

. (1.5)

Очевидно, что при получим уже найденные ранее корни в силу 2π - периодичности функций и . Следовательно, корень n ‑й степени из комплексного числа имеет ровно n различных значений.

Легко заметить, что все корни на комплексной плоскости будут являться вершинами правильного n -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. примеры 5, 6).