Риманова геометрия

Риманова геометрия, или, что то же, геометрия римановых пространств, представляет собой обобщение внутренней геометрии поверхностей на произвольное число измерений и так же относится к n-мерной евклидовой геометрии, как внутренняя геометрия поверхностей – к геометрии на плоскости. Она названа по имени ее создателя Римана.

Внутренняя геометрия поверхности определяется длинами кривых на ней, поэтому, с точки зрения своей внутренней геометрии, поверхность – это двумерное многообразие, в котором определены длины кривых, причем длина гладкой кривой выражается интегралом от «линейного элемента» . Это соответствует тому, что длины измеряются как бы «бесконечно малыми шагами» , - сумма их вдоль кривой и дает ее длину (как пояснил сам Риман).

На гладкой поверхности во введенных на ней координатах квадрат линейного элемента выражается как квадратичная форма от дифференциалов координат – первая квадратичная форма поверхности.

Чтобы определить, что такое риманово пространство, достаточно перенести сказанное на n измерений.

Риманово пространство – это многообразие, в котором определены длины кривых, причем длина кривой выражается интегралом от «линейного элемента» . Это соответствует тому, что длины измеряются как бы «бесконечно малыми шагами» ; сумма их вдоль кривой и дает ее длину .

В координатах введенных в многообразии или в его области, квадрат линейного элемента выражается как квадратичная форма от дифференциалов координат:

, (1)

Где коэффициенты являются непрерывными функциями точки – ее координат при этом . Форма (1) положительна, т. е. принимает только положительные значения, кроме того случая, когда

Задание формулой (1) значит следующее. Если в многообразии или в некоторой его области, где расположена кривая, введены координаты, то кривая может быть задана параметрическими уравнениями

Предполагается, что эти функции имеют непрерывные производные. Тогда, приняв для этих производных обозначения , можно из (1) получить выражение для элемента длины ds данной кривой:

и длины кривой представляется интегралом:

Так как коэффициенты суть непрерывные функции координат а на кривой и т. д., то оказываются непрерывными функциями , так же как Поэтому интеграл имеет обычный смысл и существует.

Так же как на поверхности, расстояния в римановом пространстве между двумя точками можно определить как точную нижнюю границу длин кривых , соединяющих эти точки. Это будет длина кратчайшей из кривых , если кратчайшая существует. Во всяком случае, у каждой точки есть окрестность, что любые две точки можно соединить кратчайшей. Кратчайшие играют в римановой геометрии роль отрезков. Кривая, которая оказывается кратчайшей на каждом малом участке, называется геодезической, так же как на поверхностях. Но большие дуги геодезических могут и не быть кратчайшими, как, например, дуги больших кругов на сфере, большие полуокружности.

В малой окрестности любой точки геометрия риманова пространства мало отличается от евклидовой: тем меньше, чем меньше окрестность. Это основано на том, что преобразованием координат можно привести квадратичную форму в данной точке к виду , т. е. к квадрату линейного элемента евклидового пространства в прямоугольных координатах. Вблизи данной точки линейный элемент будет мало отличаться от евклидова Поэтому и геометрия в окрестности будет близка к евклидовой.

Точнее это можно выразить следующим образом.

В n-мерном римановом пространстве в окрестности любой точки О можно ввести такие координаты что расстояние между любыми двумя точками этой окрестности можно представить формулой

(2)

где - разности координат точек , а таково, что , когда точки приближаются к нулю.

Начало координат можно взять в точке О и обеспечить, что кратчайшие – геодезические линии, проходящие через нее, - будут представляться как прямые уравнениями вида (3)

Длина отрезка такой линии будет точно представляться евклидовой или пифагоровой формулой:

(4)

В частности,

Это позволяет определить угол – величину угла между двумя линиями, исходящими из точки О, так же как в евклидовом пространстве. А так как за О можно принять любую точку, то угол определяется между двумя линиями, исходящими из одной точки. Точно так же можно ввести другие понятия дифференциальной геометрии, поскольку они относятся к свойствам кривых и поверхностей «в точке», т. е. определяются их свойствами в сколь угодно малой ее окрестности (и поскольку отклонения от евклидовой геометрии не играет роли).

Но риманова геометрия вообще отличается от евклидовой и в малых областях, хотя и на величины более высокого порядка малости. По аналогии с поверхностями, у которых гауссова кривизна относится к их внутренней геометрии, говорят о «римановой кривизне», характеризующей отклонение геометрии данного риманова пространства вблизи данной его точки от евклидовой геометрии. Взятое в точном смысле, понятие кривизны риманова пространства сложно. Оно, так же как на поверхностях, связано с отличием от суммы углов треугольника, сторонами которого служат кратчайшие линии.

В общем, современная геометрия включает многочисленные теории разного пространств и фигур в них, и далеко не все были упомянуты. Но их объединяет общая основа, если не считать некоторых не очень значительных теорий.

Всякое пространство, которое определяют и исследуют в геометрии, представляет собой, за редким исключением, топологическое пространство, наделенное той или иной дополнительной структурой – метрикой, группой преобразований и т. д. и т. д. Но при всем их разнообразии все они выросли из зерна обычного трехмерного евклидова пространства, из его углубленного изучения и обобщения, из связанных с ним наглядных представлений как, скажем, преобразование фигур перемещением или проектированием с плоскости на плоскость, обобщением в общем групповом принципе определения разных «геометрий», или измерение длин малым масштабом, которое легло в основу римановой геометрии и ее обобщений.

Вопросы к зачету

1.Обоснования геометрии

2.Открытие неевклидовой геометрии

3.Геометрия Лобачевского

4.Параллельные прямые в геометрии Лобачевского

5.Требования к аксиоматическим теориям

6.Различные аксиоматики школьного курса геометрии

7.Аксиоматика Вейля

8.Аксиоматика Гильтберта

9.Критика аксиоматики Евклида

10.Предмет основания геометрии

11.Геометрия до Евклида

12. «Начала» Евклида»

13.Критика системы аксиом Евклида

14.Попытки доказательств пятого постулата

15.Краткие сведения из жизни и деятельности Н.И. Лобачевского

16.Абсолютная геометрия и аксиома Лобачевского

17.Функция Лобачевского

18.Теоремы о серединных перпендикулярах к сторонам треугольника

19.Проблема непротиворечивости геометрии

20.Современное аксиоматичное построение евклидовой геометрии

21.Исследование систем аксиом геометрии

22.Декартова реализация систем евклидовой геометрии (по Погорелову А.В.)

23.Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского

24.Понятия о геометрии Римана

25.Геометрия теории относительности

26.Аффинная геометрия n измерений

Дата добавления: 2015-11-26