Геометрия теории относительности

Наряду с евклидовой геометрией рассматривают «псевдоевклидову геометрию». В координатах, когда точку определяется набором координат, с точки зрения группового принципа, это выглядит так.

Предмет евклидовой геометрии составляют инварианты преобразований, сохраняющих, с точностью до множителя, сумму квадратов разностей координат двух точек, т. е. обозначаю разность буквой - дельта:

(1)

Предмет же псевдоевклидовой геометрии n измерений составляют инварианты преобразований, которые сохраняют, с точностью до множителя, величину

. (2)

Или вообще такую величину V, в выражение которой входит некоторое число m квадратов со знаком минус.

Соответственно псевдоевклидова геометрия может быть в разных вариантах по числу отрицательных квадратов в выражении, которое сохраняется с точностью до множителя.

При числе измерений n>2, т. е. исключая случай плоскости, это оказывается равносильно сохранению равенства V=0. В частности, при одном отрицательном квадрате, как в формуле (2), это означает сохранение равенства

. (3)

Ограничимся этим случаем с одним отрицательным квадратом при числе измерений n=4 (почему так – будет видно дальше). Соответствующую псевдоевклидову геометрию можно определить так.

Основные ее объекты – точки.

Аксиомы или определяющие условия:

1.Каждая точка задается упорядоченным набором четырех чисел – координат x, y, z, t так, что между точками всевозможными наборами есть взаимно однозначное соответствие.

2.Геометрический смысл имеют те и только те соотношения, которые сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих равенства

(4)

Для любых двух точек, для которых оно выполняется.

Геометрия теории относительности. Обратимся от отвлеченно мысленных отношений геометрии к реальной действительности, как мы можем ее себе представить в согласии с физикой.

Мир представляет собой множество событий, а событие характеризуется местом и временем, где и когда оно происходит. Место определяется тремя координатами x, y, z, время события определяется по промежутку времени t, прошедшему от некоторого начального момента. Таким образом, каждому событию соответствует свой набор четырех чисел x, y, z, t – четыре координаты, три пространственных и одна временная. Мир имеет четыре измерения.

Координаты x, y, z мы представляем как прямоугольные, так что расстояние r между двумя местами – точками выражается формулой

(5)

От одних событий к другим, от одного места к другому распространяется свет, и вообще какое бы то ни было электромагнитное излучение – оно же поток фотонов. Для краткости будем говорить, как это принято о свете.

Если скорость света обозначить с, то расстояние r, пройденное светом от момента до момента , будет (6). Поэтому закон распространения света от события - от вспышки в месте в момент времени , представляется формулой так:

. (7)

Возводя в квадрат и обозначая разности буквой , получим закон распространения света в виде (8)

Во всех этих выводах имеются в виду такие пространственно-временные координаты в которых распространение света представляется как происходящее с постоянной скоростью во всех направлениях. Разные системы координат могут быть связаны с разными телами, движущимися различным образом, и распространение света относительно них может выглядеть по-разному, подобно тому, как по-разному выглядит движение одних тел относительно других, как мимо пассажиров «плывут» дома.

Но можно считать твердо установленным, что системы координат, в которых закон распространения света представлен формулой (7) или (8), существуют. Назовем их лоренцевыми по имени физика Г. Лоренца, нашедшего формулы преобразования таких координат. Эти координаты связаны с так называемыми инерциальными системами, по отношению к которым выполняется «закон инерции»: тело, не испытывающее воздействий, движется относительно этой системы прямолинейно и равномерно.

Для инерциальных систем выполняется фундаментальный закон природы – принцип относительности: по отношению к таким системам явления одной и той же природы протекает одновременно. (как для пассажиров в равномерно летящем самолете все происходит в самолете так, как если бы он стоял на земле.)

Но не вдаваясь в эти выводы физики, можно высказать принцип относительности просто в его математическом выражении:

Законы физики выражаются одинаково во всех лоренцовых системах координат. Эти координаты характеризуются тем, что в них распространения света представляется формулой (8). Поэтому принцип относительности можно выразить так:

Выражения законов природы инвариантны при преобразованиях одной системы лоренцовых координат в другую, т. е. по отношению к таким преобразованиям, которые оставляют неизменной формулу закона распространения света (7).

Этот же закон выражается формулой (8), а если выбрать единицы измерения так, чтобы скорость света была с = 1, то формула (8) приобретает вид:

(9)

Теперь подведем итог.

1. Мир есть множество событий, и каждое событие задается четырьмя координатами x, y, z, t, причем существуют такие координаты – «лоренцовы», в которых закон распространения света выражается формулой (9).

2. Выполняется принцип относительности, как он только что был сформулирован.

Сравнив это с определением псевдоевклидовой геометрией, связанной с формулой (4), можно видеть полное совпадение.

В геометрии – в структуре мира основные объекты – это событие, подобно точкам.

Законы этой структуры, подобно аксиомам геометрии, следующие.

1. Каждому событию можно сопоставить четыре координаты x, y, z, t, так что между событиями и набором координат устанавливается взаимно однозначное соответствие.

2. Объективный физический смысл имеют только те соотношения, которые сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих равенства (9).

Дата добавления: 2015-11-26