Обслуживание как марковский случайный процесс

МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Элементы и классификация систем массового обслуживания

Менеджеру-экономисту приходится сталкиваться с ситуациями (процессами), которые характеризуются термином массовое обслуживание. Примерами процессов этого типа являются:

1) обслуживание покупателей в сфере розничной торговли;

2) транспортное обслуживание;

3) медицинское обслуживание населения;

4) ремонт аппаратуры, машин, механизмов, находящихся в эксплуатации;

5) обработка документов в системе управления;

6) туристическое обслуживание.

Подчеркнем главную особенность процессов массового обслуживания - случайность. При этом имеются две взаимодействующие стороны - обслуживаемая и обслуживающая. Случайное поведение хотя бы одной из сторон приводит к случайному характеру протекания процесса обслуживания в целом. Источниками случайности взаимодействия этих двух сторон являются случайные события двух типов.

1. Появление заявки (требования) на обслуживание. Причиной случайности данного события часто является

массовый характер потребности в обслуживании. Например, торговое обслуживание часто характеризуется большим числом, массой потенциальных покупателей и, как следствие, непредсказуемостью момента предъявления требования на обслуживание конкретным покупателем. Это связано с очевидной невозможностью точного согласования с массой покупателей времени покупки, востребования конкретного товара, тем более что множество будущих покупателей заранее, как правило, неизвестно.

Случайность появления требования на некоторые виды технического обслуживания оборудования тем более понятна, поскольку факт такой потребности чаще всего не может быть точно предсказан для конкретной единицы оборудования. Поэтому обслуживающая сторона принципиально не может заранее согласовать с обслуживаемой стороной (заказчиком) момент начала обслуживания.

2. Окончание обслуживания очередной заявки.

Причинами случайности этого события является как случайность начала обслуживания, так и случайная продолжительность самого обслуживания. Например, продолжительность ремонта оборудования зависит от характера неисправности. Случайной является и продолжительность обслуживания конкретного покупателя, зависящая как от структуры покупки, так и от психологических особенностей взаимодействия конкретных покупателя и продавца.

Указанные случайные события составляют систему двух взаимодействующих потоков событий - систему массового обслуживания - СМО:

• входного потока заявок (требований) на обслуживание;

• выходного потока обслуженных заявок.

Каждый из указанных потоков может иметь различные свойства, имеющие специальные обозначения, предложенные Кендаллом, и широко известные среди специалистов в области теории массового обслуживания:

М - экспоненциальный закон распределения вероятностей случайной величины интервала времени между появлением двух последовательных событий в потоке;

D - интервалы времени между последовательными событиями потока детерминированы;

Е - r-фазное распределение Эрланга;

К - гамма-распределение;

GI - рекуррентное распределение, при котором длительности интервалов между последовательными событиями потока статистически независимы и имеют одинаковое распределение;

G - закон распределения неизвестен или может быть любым.

Результатом взаимодействия указанных потоков случайных событий является число находящихся в СМО заявок в данный момент, которое принято называть состоянием системы. Одной из главных целей теории массового обслуживания является исследование различных характеристик случайного состояния СМО. Ниже будут рассмотрены методы определения основных характеристик, влияющих на экономическую эффективность функционирования СМО. Знание таких характеристик дает менеджеру информацию для выработки направленного воздействия на эти характеристики и, следовательно, для управления эффективностью процессов массового обслуживания.

Незнание менеджером теории массового обслуживания может привести к ошибочному выводу об идеальной согласованности входного потока с максимальной возможностью интенсивного обслуживания в случае их совпадения. Может возникнуть иллюзия, что подобная система функционирует с наибольшей эффективностью ввиду совпадения интенсивности входного потока и максимальной способности обслуживания. В действительности это не так. Экономически выгодно допустить превышение обслуживающей мощи. Способы вычисления оптимального соотношения указанных интенсивностей дает теория массового обслуживания.

Неотъемлемой частью системы массового обслуживания является узел обслуживания, через который осуществляется взаимодействие входного и выходного потоков заявок. Узел обслуживания может содержать один или более обслуживающих каналов (приборов, обслуживающих устройств). Примером обслуживающего канала является рабочее место кассира на предприятии розничной торговли. В случае транспортного обслуживания каналом может считаться отдельная единица транспортного средства. По числу обслуживающих каналов различают одноканальные и многоканальные СМО.

В зависимости от характера потоков событий, воздействующих на систему и числа каналов обслуживающего узла, обще-принятой являются классификация СМО и их условное обозначение, состоящее из трех символов, первые два указывают типы соответственно входного и выходного потоков событий, а третий - число каналов. В системе обозначений Кендалла символы M/G/3 идентифицируют трехканальную СМО с экспоне-циальным входным потоком и произвольным потоком обслуженных заявок.

Очевидным является тривиальность СМО типа D/D/n, в которой процесс функционирования является детерминированным, и его анализ не представляет какой-либо сложности. Поэтому системы такого типа нами не будут в дальнейшем рассматриваться именно по причине тривиальности анализа.

Находящиеся в СМО заявки могут либо ожидать обслуживания, либо - находиться под обслуживанием. Часть заявок, ожидающих обслуживания, образует очередь. Правила формирования очереди называют дисциплиной очереди. В математических методах СМО в правилах формирования очереди чаще всего определяются следующие ее особенности:

• максимально допустимое число заявок, которые могут находиться в очереди, в дальнейшем обозначаемое символом т;

• способ выбора заявок из очереди для обслуживания по мере появления свободных каналов.

В зависимости от целочисленного значения т используются следующие названия в классификации типов СМО:

• т = 0 - без очереди;

• т > 0 - с очередью.

Если число мест в очереди т является конечным, то в СМО могут происходить отказы в предоставлении обслуживания некоторым заявкам. В связи с этим СМО указанного типа называются системами с отказами. Отклоняются от обслуживания те заявки, в момент прихода которых все места в очереди случайно оказались занятыми, или, если т = 0, все каналы оказались занятыми. Считается, что заявка, получившая отказ в обслуживании, навсегда теряется для СМО. Таким образом, пропускная способность СМО этого типа всегда меньше 100%.

Если т не ограничено, что иногда условно записывают как т = ∞, то соответствующая СМО называется системой с ожиданием. В СМО данного типа пришедшая заявка, при отсутствии возможности немедленного обслуживания, ожидает об-слуясивания какой бы длинной ни были очередь и продолжительность времени ожидания.

По способу отбора для обслуживания заявок из очереди различают следующие виды дисциплины очереди:

• первый пришел - первый обслуживается (иногда, часто в иностранных пакетах прикладных программ, это правило обозначается английской аббревиатурой FIFO - First Input First Output);

• последний пришел - первый обслуживается (английской аббревиатура LIFO - Last Input First Output);

• ограничено время пребывания заявки в очереди;

• с приоритетами, при которой некоторые находящиеся в очереди заявки имеют право первоочередного обслуживания. В некоторых случаях свойства входного потока заявок зависят от числа заявок уже находящихся в системе. Это имеет место, например, в СМО связанных с ремонтным обслуживанием, когда интенсивность входного потока прямо зависит от числа работающих единиц оборудования, которое в свою очередь зависит от числа единиц оборудования вышедшего из строя и находящегося в СМО. Эта система является примером так называемой замкнутой СМО. В системе указанного типа конечность очереди является следствием ограниченности популяции заявок. Если популяция заявок достаточно большая, то интенсивность входного потока практически не зависит от числа заявок, находящихся в системе. Такие системы принято называть СМО разомкнутого типа.

Обслуживание как марковский случайный процесс

Основное содержание теории массового обслуживания составляют методы исследования характеристик СМО, находящихся под воздействием так называемых простейших потоков случайных событий.

Одной из характеристик потока случайных событий является его интенсивность, или среднее число событий, происходящих в единицу времени. Для входного потока событий (заявок) его интенсивность будем в дальнейшем обозначать буквой λ, а интенсивность обслуживания заявок одним каналом при непрерывной его работе μ

Простейшим называется поток случайных событий, обладающий тремя свойствами:

1) стационарности, суть которого состоит в том, что вероятностные характеристики потока, в том числе его интенсивность, не зависят от времени;

2) ординарности, означающее, что вероятность появления более одного события за бесконечно малый промежуток времени dt является бесконечно малой величиной более высокого порядка;

3) отсутствия последействия, которое соответствует ому, что появление в потоке очередного события не зависит от того, когда появлялись в нем предшествующие события.

Из теории вероятностей известно, что для простейшего потока случайных событий случайный интервал времени t между появлением в нем двух последовательных событий подчинен показательному закону распределения вероятностей:

(6.1)

где λ~ параметр распределения, имеет смысл интенсивности потока.

Легко проверить, что математическое ожидание этой случайной величины, т. е. средний интервал времени, разделяющий два последовательных события потока, равно

(6.2)

Тогда вероятность р появления за малый конечный промежуток времени Δtхотя бы одного события в первом приближении пропорциональна длине этого промежутка:

(6.3)

Для бесконечно малого значения Δt = dt соотношение (6.3) выполняется точно. Величина λ имеет смысл элемента плотности вероятности.

Другим важным для нас свойством простейшего потока случайных событий является то, что сумма любого конечного числа простейших потоков случайных событий является также простейшим потоком.

Дата добавления: 2015-10-23