Правило лопиталя

При вычислении предела отношения может оказаться, что при числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, то есть являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими величинами. Говорят, что в этих случаях мы имеем дело с неопределенностями вида или . Вычисление предела в этом случае называется «раскрытием неопределенности» и производится по правилу Лопиталя.

Правило Лопиталя. Пусть заданы две функции и и выполняются условия:

1) и или

и ;

2) они имеют первые производные в окрестности точки (за возможным исключением самой точки );

3) и в окрестности точки ;

4) существует , тогда существует и имеет место равенство , если этот предел существует конечный или бесконечный.

Сущность этого правила состоит в том, что в случае «неопределенностей» вида или вычисление предела отношения функций, при соблюдении указанных требований, заменяется вычислением предела отношения их производных, которое в большинстве случаев оказывается проще.

В случае, когда и отношение производных приводит в «неопределенностям» вида или , снова применяют правило Лопиталя.

Пример 17. Найти .

Решение. Если в данную дробь поставить вместо , то получится «неопределенность» вида . Применяя правило Лопиталя, получим:

.

Пример 18. Найти .

Решение. Здесь имеет место неопределенность . Применяем правило Лопиталя:

.

В этом примере правило Лопиталя применили два раза.

Отметим, что правило Лопиталя применяется для раскрытия только «неопределенностей» вида и . Все остальные виды «неопределенностей» (, , , , ) сначала приводятся к «неопределенностям» или с помощью различных преобразований, а затем применяется правило Лопиталя.

Раскрытие «неопределенности» :

Если и , то для определения предела надо преобразовать разность к виду

,

тогда

и раскрываем по правилу Лопиталя.

Пример 19. Найти .

Решение. Если в данную дробь поставить вместо , то получится «неопределенность» . Выражение, стоящее в скобках, приводим к общему знаменателю и получаем:

.

Раскрытие «неопределенности» .

Пусть , ;

или ,

тогда

,

то есть «неопределенность» вида может быть сведена к «неопределенности» вида или .

Пример 20. Найти .

Решение. При , а – величина бесконечно малая, поэтому здесь имеет место «неопределенность» вида .

.

«Неопределенности» вида ; ; .

«Неопределенности» этих видов сводятся к «неопределенности» вида , которая была рассмотрена выше. Это достигается с помощью тождества.

; (),

тогда и все сводится к определению предела .

Пример 21. Найти .

Решение. ; , поэтому

.

Найдем

.

Окончательно получаем .

Дата добавления: 2015-10-23