Геометрические приложения определенного интеграла

Применение определенного интеграла к вычислению

площадей фигур в прямоугольной системе координат

Пусть задана функция , непрерывная на отрезке . Тогда площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( при ), осью (прямая ), прямыми (см. рис. 6.1) вычисляется по формуле

. (6.1)

Если же заданы две функции , , непрерывные на отрезке , причем на этом отрезке (график функции лежит ниже графика функции ), то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми (см. рис. 6.2), вычисляется по формуле

. (6.2)

Рис. 6.1. Рис. 6.2.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью , если .

Решение: В данном случае необходимо применить формулу (6.1), в которой , . Итак,

.

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций и прямой .

Решение: Для решения задачи необходимо применить формулу (6.2). Сначала определим функции , и отрезок интегрирования . Сделаем чертеж (см. рис. 6.3).

Из чертежа видно, что , , . Тогда

Рис. 6.3

Вычисление длины дуги кривой, заданной уравнением

В прямоугольной декартовой системе координат

Пусть задана функция , определенная и дифференцируемая (а значит, непрерывная) на конечном отрезке . Тогда длина дуги кривой, определяемой уравнением на отрезке , вычисляется по формуле

. (6.3)

Пример 3. Найти длину дуги кривой, уравнение которой на отрезке задается уравнением .

Решение: Функция является дифференцируемой, как сумма дифференцируемых степенных функций. Вычисляя производную , и используя равенство (6.3), получим

Пример 4. Найти длину дуги кривой от до .

Решение: Данная функция является дифференцируемой на отрезке по теореме о производной сложной функции. Вычисляя производную , и применяя формулу

(6.3), получим

.

Используя формулу половинного аргумента , получим , , и окончательно, .

Лекция 5

7. Несобственные интегралы 1-го рода

Определение 1. Если функция определена и непрерывна на полуинтервале , то несобственным интегралом первого рода (интегралом с бесконечным пределом интегрирования) называют предел

. (7.1)

Если существует конечный предел правой части равенства (7.1), то интеграл (7.1) сходится. Если предел правой части равен бесконечности или вообще не существует, то интеграл (7.1) расходится.

При вычислении интеграла (7.1) необходимо знать первообразную для функции . Если ее удается найти, то . Однако не всегда удается найти первообразную и тогда для установления сходимости (расходимости) интеграла (7.1) прибегают к соответствующим признакам, из которых наиболее часто используют два: признак сравнения и предельный признак.

Признак сравнения: пусть при (, – непрерывные функции, ). Тогда:

1) если – сходится, то – сходится;

2) если – расходится, то – расходится.

Предельный признак: пусть при и существует предел . Тогда интегралы , сходятся или расходятся одновременно.

При установлении вопроса о сходимости, расходимости интеграла (7.1) пользуются вспомогательными интегралами вида

(7.2)

Покажем на примерах, как пользуясь признаками сходимости, расходимости, а также интегралами вида (7.2), установить сходимость или расходимость интеграла (7.1).

Пример 7.1. Показать, что интеграл – сходится.

Решение: Воспользуемся признаком сравнения: при

. Задача состоит в том, чтобы подобрать функцию такую, чтобы выполнялись одно из условий 1) или 2) признака сравнения.

При имеем цепочки неравенств: , ,

.

Итак, в качестве функции достаточно взять и тогда при , сходится (). Тогда по признаку сравнения интеграл – сходится.

Пример 7.2 Показать, что интеграл – расходится.

Решение: Как и в примере 7.1 при . При имеем цепочки неравенств: (проверьте!), , .

Здесь в качестве функции достаточно взять и тогда при , расходится (). Тогда по признаку сравнения исходный интеграл – расходится.

Если подынтегральная функция интеграла (7.1) имеет вид дробной функции , где содержат переменную в каких-то степенях (в том числе и дробных), то удобно пользоваться предельным признаком сходимости интегралов.

Пример 7.3. Исследовать на сходимость .

Решение: Воспользуемся предельным признаком сходимости. Здесь при . Задача – найти функцию и . Функция отыскивается следующим образом: в числителе и знаменателе функции отыскиваются слагаемые, содержащие в старших степенях (старшие степени обозначаются соответственно ). В данном случае в числителе – это (), а в знаменателе – (). Составляется число . Тогда в качестве функции достаточно взять (напомним, что – расходится как интеграл вида (7.2) при ).

Найдем =

. Итак, по предельному признаку сходимости интеграл расходится.

Дата добавления: 2015-10-30