Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Способи знаходження обернених матриць

Читайте также:
  1. Введення обернених тригонометричних функцій
  2. Знаходження оптимального розміру партії поставки з урахуванням можливого дефіциту запасів
  3. Основні види розрахунків. Форми, способи і порядок розрахунків. 1 страница
  4. Придбання громадянства, його способи та умови.
  5. Припинення громадянства, основні способи. Припинення громадянства на підставі міжнародного договору.
  6. Розгорнутий алгоритм для знаходження оберненої матриці
  7. Способи взаємодії внутрішнього і міжнародного права

Теорема 3. Для того щоб існувала матриця, обернена до матриці А, необхідно й достатньо, щоб матриця А була невиродженою.

Необхідність. Припустимо, що для матриці А існує обернена матриця А-1. Тоді А?=Е. Звідси, за теоремою про множення визначників , тобто . Тому , і, отже, матриця А — невироджена.

Достатність. Нехай матриця А — невироджена. Тоді, як випли­ває з рівностей (2), матриця

є оберненою до матриці А.

Матрицю, обернену до матриці А, позначають символом А-1. Доведемо, що для будь-якої невиродженої матриці А існує тільки одна обернена матриця А-1. Справді, якщо матриця С така, що АС = СА = Е, то

САА-1 = (СA)А-1 = ЕА-1= А-1,

САА-1 = С(AА-1) = CЕ= C,

і отже, С=А-1. Таким чином, для кожної невиродженої матриці A=(aik) існує, і притому тільки одна, обернена матриця

(3)

Співвідношення (3) називають формулою оберненої матриці. Якщо матриця А невироджена, то обернена до неї матриця А-1 також невироджена. Справді, з рівності АА-1 і теореми про множення визначників випливає, що ; тому матриця А-1 також невироджена. Оберненою до матриці А-1, очевидно, є матриця А.

Застосування обернених матриць до розв’язування прикладів

Знаходження оберненої матриці є важливою складовою в розділі лінійної алгебри. З допомогою таких матриць, якщо вони існують, можна швидко знайти розв'язок системи лінійних рівнянь. Розглянемо метод Гауса — Йордана, який використовується для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходження оберненої матриці, знаходження координат вектора у заданому базисі, відшукання рангу матриці. Метод є модифікацією методу Гауса. Названий на честь Гауса та німецького математика та геодезиста Вільгельма Йордана.

Алгоритм

1. Обирається перша зліва колонка, що містить хоч одне ненульове значення.

2. Якщо верхнє число у цій колонці - нуль, то обмінюється увесь перший рядок матриці з іншим рядком матриці, де у цій колонці нема нуля.

3. Усі елементи першого рядка діляться на верхній елемент обраної колонки.

4. Від рядків, що залишились, віднімається перший рядок, помножений на перший елемент відповідного рядка, з метою отримання у якості першого елемента кожного рядка (крім першого) нуля.

5. Далі, повторюємо ці операції із матрицею, отриманою з початкової матриці після викреслювання першого рядка та першого стовпчика.

6. Після повторення операцій n-1 разів отримаємо верхню трикутну матрицю.

7. Віднімаємо від передостаннього рядка останній рядок, помножений на відповідний коефіцієнт, щоб у передостанньому рядку залишилась лише 1 на головній діагоналі.

8. Повторюємо попередній крок для наступних рядків. У результаті отримуємо одиничну матрицю і рішення на місці вільного вектора (над ним необхідно виконувати ті самі перетворення).


Дата добавления: 2015-10-28; просмотров: 124 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Обернена матриця| Розгорнутий алгоритм для знаходження оберненої матриці

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)