Олимпиадные задачи по математике

Денежки.

В одном государстве ввели только квадратные деньги. Их получали из золотых пластин, при этом сторона квадрата для удобства всегда являлась натуральным числом. Стоимость такой монеты соответствовала кубу площади получившейся фигуры.

В распоряжении Незнайки оказалась золотая пластина размерами М × N. Помогите ему разрезать ее так, чтобы получить максимальную сумму денег.

Итак, входная информация: размеры пластины М, N (a)М, N<50, b) М, N< 10000).

Результат – К – количество денег, S – суммарная сумма, которая оказалась у Незнайки в результате разрезания. Пример:

М	N	S	K

6. По введенному тексту телеграммы определить стоимость ее пересылки, если известно, что оплата осуществляется по количеству слов. Цена слова равна р (вводится с экрана). Между словами разрешается ставить больше или равно одного пробела

Счет 1

Вывести количество трехзначных натуральных чисел, содержащих хотя бы одну из цифр 5.

Счет 2

Вывести количество трехзначных натуральных чисел, содержащих ровно две одинаковые цифры. Решить задачу математически и на компьютере через циклы. Сравнить результат.

Математическая логика

Построить отрицание к следующим высказываниям:

1) Ночью все кошки серы.

2) На всякого мудреца довольно простоты.

3) В любом треугольнике найдется хотя бы один острый угол.

4) Уравнение А имеет единственное решение.

Домашнее задание 8 класс (зима 2014)

1. Разложить на множители

а) x⁸ + x⁴ + 1, б)x⁸ + x + 1, в) (x + y + z)³ - x³ - y³ - z³.

2. Доказать, что если a + b + c = 0, то a³ + b³ + c³ = 3abc.

3. Найти наибольший общий делитель чисел 2n + 3 и n + 7.

4.Решить ребус КАТЯ + СТАС = СЕМЬЯ

5.Лыжник рассчитал, что если он будет проходить в час 10 км, то прибудет на турбазу на час позже срока, а если будет бежать со скоростью 15км/ч, то прибудет на час раньше срока. С какой скоростью ему надо бежать, чтобы прибыть точно в срок?

6. У каждого из n человек появилась новость. Они посылают друг другу телеграммы, в которых сообщают все известные им новости. Какое наименьшее количество телеграмм нужно послать, чтобы все узнали все новости?

7. Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: "В нашем лесу 99% сосен. Мы будем рубить только сосны. После рубки сосны будут составлять 98% всех деревьев.". Какую часть леса вырубит леспромхоз?

8. В треугольнике АВС точка D делит ВС в отношении BD:BC = 1:3, а точка О делит отрезок AD в отношении АО:OD = 5:2. В каком отношении прямая ВО делит отрезок АС?

9.Во всех подъездах дома одинаковое число квартир. При этом число квартир на этаже меньше числа этажей, но больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько в доме этажей, если всего в нем 105 квартир?

а)Найдите хотя бы одно решение.

б)Найдите все решения и докажите, что других нет.

Информатика

1. Зеркало и дверь. Дверной проем зала во дворце имеет форму прямоугольни-ка M * N. Королеве привезли зеркало в форме треугольника с заданными координа-тами вершин (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃,y₃). Определить, смогут ли послушные поддан-ные протащить зеркало в зал ко­ролевы через дверь. Зеркало разрешается вертеть. Желательно изобразить схему "протаскивания" зеркала в плоскости дверного проема.

2. В некотором классе одной из школ в конце каждой четверти вычисляется рейтинг учащихся. Для этого классный руководитель для каждого учащегося суммирует его четвертные оценки по всем предметам. После чего учащийся с большей суммой баллов получает более высокий рейтинг.

Входные данные: задано количество учеников и для каждого ученика заданы фамилия и сумма баллов.

Выходные данные: ваша задача выдать на экран список учащихся в порядке убывания рейтинга с указанием сумм баллов. Если несколько учащихся имеют одинаковый рейтинг, то расположить их между собой в произвольном порядке.

Пример входных данных:

Количество учащихся: 5

Фамилия: Иванов

Сумма: 50

Фамилия: Петров

Сумма: 60

Фамилия: Сидоров

Сумма: 30

Фамилия: Сидорова

Сумма: 60

Фамилия: Буданцев

Сумма: 40

Пример выходных данных:

Фамилия: Сидорова, 60

Фамилия: Петров, 60

Фамилия: Иванов, 50

Фамилия: Буданцев, 40

Фамилия: Сидоров, 30

1. Паромщик перевозит грузы через реку. Известно:

1. грузоподъемность парома, превышать которую категорически запрещается,
2. количество и массы грузов на левом берегу,
3. количество и массы грузов на правом берегу.

Паромщику требуется спланировать перевозку грузов левого берега на правый берег и грузов правого берега на левый так, чтобы количество «переездов» с берега на берег было минимальным.

Примечание: перевозка должна начаться с левого берега и там же закончиться. Программа должна сообщить количество перемещений с берега на берег.

Пример входных данных:

Грузоподъемность: 10

Количество грузов на левом берегу: 12

Их массы: 5 1 4 2 1 2 1 5 1 4 7 7

Количество грузов на правом берегу: 2

Их массы: 8 9

Пример выходных данных:

Требуется 8 перемещений.

4. Задана таблица целых чисел, содержащая N строк и M столбцов. Найти количество строк, содержащих хотя бы один ноль.

5. Решить задачу 1 при условии, что известно количество предметов в данном классе и вместо суммы баллов для каждого учащегося указываются баллы по этим предметам.

6. Заданы 2 строки. Можно ли из первой строки получить вторую перестановкой букв.

7. Числа. Имеется массив из n чисел (n <20). Вывести все числа, встречающиеся более одного раза.

Входная информация: n – количество чисел, x_i – число (1≤ i ≤ n).

Результат – повторяющиеся числа. Пример:

Входные данные	Результат
2 4 6 3 2 2 6	2 6

8. При помощи подпрограмм-функций и рекурсии написать программу вычисления числа сочетаний из n элементов по m.

Домашнее задание 7 класс (зима 2014)

Системы счисления

1. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 19 заканчивается на 4.

2. Для кодирования символов +,-,*,: решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким способом закодировать последовательность символов *+-: и записать результат восьмеричным кодом, то что получится?

3. Скорость передачи данных через выделенный канал равна 512000 бит/с. Передача файла через данное соединение заняла 46 секунд. Определите размер файла в килобайтах.

Информатика

Счет

Вывести количество четырехзначных натуральных чисел, содержащих ровно две одинаковые цифры. Решить задачу математически и на компьютере. Сравнить результат.

Маша и медведь»

Однажды девочка Маша заблудилась в лесу и стала жить у медведя Миши в лесной избушке. Иногда она пекла пирожки и просила медведя, чтобы он отнес их ее бабушке с дедушкой. Однако Миша сам не прочь был полакомиться пирожками, поэтому по пути в лесу время от времени садился на пенек и съедал пирожок. Бывало, что и пустую корзинку приносил в деревню.

Чтобы такого не происходило, Маша поселила в каждый пенек, стоящий рядом с лесной тропинкой, дрессированную мышку-сигнальщика. Если Миша садится на пенек, мышка моментально выбегает из него и начинает махать платочком. Все мышки-сигнальщики, увидевшие этот сигнал, начинают его повторять. Время, требуемое для передачи сигнала и начала его воспроизведения другой мышкой, равно 1 с. За такое же время доходит сигнал от любой мышки, живущей в зоне видимости домика, до Маши. Таким образом, через некоторое время Маша получает сигнал о том, что Миша сел на пенек. Она немедленно берет телефон и скидывает медведю заранее приготовленное сообщение: «Миша, не садись на пенек, не ешь пирожок, неси бабушке, неси дедушке!». На это требуется ровно три секунды.

Если Миша получит сообщение до того, как взял пирожок, то не станет его есть, а если пирожок уже у него в лапах, то Мишу ничем не остановить.

На рисунке ниже приведена схема расположения пеньков, на которые Миша может присесть в лесу. Отрезками соединены пеньки, находящиеся в зоне видимости друг друга. Также проведены отрезки к пенькам, которые Маша видит из дома медведя.

Входные данные: натуральные числа t, k, n ₁ ,...,n _k. где t – количество секунд, требуемых Мише, чтобы сесть на пенек и взять пирожок; k – количество пеньков, на которые медведь садился во время лесной прогулки. Далее перечислены номера этих пеньков.

Выходные данные: номера тех пеньков, на которых Мише удалось съесть пирожок. Если таковых не оказалось, то необходимо вывести строку «не съел». Пример:

Олимпиадные задачи по математике

1. Пусть a,b,c- неотрицательные числа, не превосходящие 1. Докажите, что если a(1-b)=b(1-c)=c(1-a), то a=b=c.

2. Доказать, что для всякого натурального числа n число n³+2n делится на n.

3. В клетках квадратной таблицы 25×25 расставлены шашки так, что на каждой горизонтали стоит ровно 5 шашек (в каждой клетке не более одной шашки). Оказалось, что шашки расположились симметрично от-носительно диагонали, соединяющей верхний левый и нижний правый углы. Доказать, что на диагонали обязательно стоит хотя бы одна шашка.

4. На прямой дано 10 точек Р₁,Р₂,Р₃,…,Р₁₀. Найдите точку С на пря-мой, для которой сумма расстояний от точки С до точек Р₁,Р₂, Р₃,…, Р₁₀

СР₁+СР₂+СР₃+…+СР₁₀ минимальна. Ответ обосновать.

4. Пусть N– нечетное число, N>1. Докажите, что тогда N³+N²-N-1 делится на 8. Делится ли это число на 16?

Математическое моделирование

Написать компьютерную программу решения задачи: найти количество p-значных натуральных чисел, цифры которых идут в неубывающем порядке.

Решить задачу для р=4,5,6,7,8,9.

Дата добавления: 2015-10-24