Операции над векторами.

На множестве векторов вводится бинарная операция, которая называется сложением векторов. Эту операцию можно определить либо правилом параллелограмма (если векторы и , являются сторонами параллелограмма, то их суммой будет вектор , где - четвертая вершина параллелограмма), либо правилом треугольника (если векторы и являются сторонами треугольника, то их суммой называют вектор ).

Легко убедиться в следующих свойствах этой бинарной операции на множестве векторов:

1) ;

2) ;
3) ;

4) .

Следовательно, относительно сложения множество векторов образует абелеву группу.

Произведением вектора на число называется вектор , который имеет длину и направление вектора , если ; направление противоположного вектора к , если . Отметим, что .

Произведение вектора на число обладает свойствами:

1) ;

2) ;

3) .

Множество геометрических векторов с введенными на нем операциями называется векторным пространством.

Координаты вектора.

Рассмотрим пространство с введенной на нем декартовой системой координат. Пусть и - три единичных вектора, исходящих из начала координат в направлениях соответственно декартовых осей и . Эти векторы называются ортами координатных осей. Пусть вектор имеет начало также в точке (начале координат). Спроектируем конец вектора на координатные оси. Полученные проекции можно записать в виде и , где и - углы, которые образует вектор соответственно с координатными осями и . Числа и называются направляющими косинусами вектора . Вектор и его проекции на координатные оси удовлетворяют равенству

.

Тройка векторов называется базисом векторного пространства , а написанное выше равенство – разложением вектора по базису . При этом числа носят название координат вектора относительно базиса . Поскольку координаты вектора относительно данного базиса являются проекциями этого вектора на координатные оси, длина вектора и его координаты связаны формулой

.

Подставляя в эту формулу координаты вектора, выраженные через направляющие косинусы, легко получить равенство

,

которому удовлетворяют направляющие косинусы любого вектора. Заметим, что направляющие косинусы являются координатами орта вектора .

Поскольку координаты вектора полностью его определяют, можно ввести обозначение и заменить введенные операции над векторами операциями над их координатами. Так сложение векторов можно заменить сложением их координат: , т.е. ,

а умножение вектора на число - умножением координат на это число: или .

Равенство векторов на координатном языке предполагает равенство их координат , а коллинеарность - пропорциональность их координат .

Пусть имеются две точки и . Тогда вектор можно записать в виде или . В частности, для радиус-вектора точки имеем формулы или .

Дата добавления: 2015-07-08