Задачи повышенного уровня сложности. 3.31. Доказать, что любое рациональное число можно записать в виде десятичной

3.31. Доказать, что любое рациональное число можно записать в виде десятичной периодической дроби.

Доказать, что следующие числа иррациональны.

3.32. . 3.33. . 3.34. .

3.35. Доказать, что для любых вещественных чисел найдется рациональное число такое, что .

3.36. Доказать, что для любых вещественных чисел найдется иррациональное число такое, что .

3.37. Каков порядок подгрупп групп 7-го и 10-го порядков? Построить таблицу умножения группы седьмого порядка.

3.38. Построить таблицу умножения группы диэдра . Эту группу можно рассматривать как группу симметрии квадрата относительно его поворотов на углы вокруг оси, перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через его центр, а также поворота квадрата на угол относительно оси, лежащей в плоскости квадрата, проходящей через его центр и параллельной стороне квадрата. Найти подгруппы этой группы. Построить факторгруппу , доказав предварительно инвариантность , где - подгруппа четвертого порядка. Построить гомоморфизм на . Какой подгруппе симметрической группы изоморфна группа диэдра ?

3.39. Построить таблицу умножения группы кватернионов , содержащей элементы . Учесть, что . Найти левые и правые смежные классы подгруппы в группе кватернионов. Является ли эта подгруппа инвариантной? В случае положительного ответа построить факторгруппу , задав ее таблицей умножения. Какие еще подгруппы имеет группа кватернионов?

3.40. Найти все собственные подгруппы группы кватернионов . Описать все сопряженные подгруппы подгруппе в группе . Доказать, что подгруппа является нормальным делителем и найти факторгруппу с ее таблицей умножения.

Дата добавления: 2015-07-08