Некоторые понятия теории упругости и пластичности

Определение некоторых механических свойств металлов произ­водят, используя простые схемы нагружения - растяжение, сжа­тие, кручение. При растяже­нии получают диаграмму за­висимости условных на­пряжений σ= P/F₀ от
условных деформа­ций ε = Δl/l_о, используя
силу Р, первоначальную пло­щадь поперечного сечения F_O
удлинение образца Δ l и пер­воначальную расчетную дли­
ну образца l₀. Условная диа­грамма зависимости напряже­ний от деформаций (рис. 3.1.)
позволяет определить предел
Рис.3.1.Диаграммарастяжения металла: пропорциональности— точка
/ — условная; 2 — действительная А: действительный Предел

текучести, при котором на­чинаются пластические деформации, — точка В; условный, предел текучести σ₀₂ — точка С как пересечение прямой линии, которая параллельна упругому участку диаграммы ОА и отсекает на оси е отрезок величиной 0,2 %, с кривой линией диа­граммы; временное сопротивление σ_в — точка D, при котором наступает потеря пластической устойчивости и начи­нает появляться шейка; напряжение разрушения металла — точка Е. Измерением длины l_к и диаметра шейки разрушенного образца определяют также относительное удлинение δ= (l_к — l₀)/l₀ и поперечное сужение ψ= (F_o — F_K)/F₀, где F_K — площадь минимального сечения шейки образца после разрыва.

Диаграмму условных напряжений используют для построения диаграммы действительных напряжений а_д и деформаций ε_д. Дей­ствительные напряжения находят как отношение силы Р к действительной площади поперечного сечения образца σ _л= P/F, а действительные деформации — как интеграл бесконечно малых приращений относительных деформа­ций dl/l:

ε= ∫ dl/l = In (l/lo) = In [(lо + Δl)/l ₀ ]= In (1 + ε). (3,1)

Действительные деформации ε_д, или, как их еще называют, логарифмические, заметно отличаются от условных деформаций ε, если значения последних превышают 0,15—0,2 (15—20 %).

Полная деформация состоит из упругой и пластической:

ε= ε _у + ε _пл. (3.2)

Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) в пределах упругих деформаций

(3.3)

μ_y = - ε_пои/ ε _у = 0,25 / 0,3.

За пределами упругости приращение продольных пластических деформаций вызывает поперечную деформацию с коэффициентом 0,5, в то время как приращение упругих деформаций продолжает вызывать поперечные деформации с прежним коэффициентом ц_у. Поэтому коэффициент Пуассона, обозначенный за пределами упру- гости как (*', изменяется по мере роста пластической деформации от u_v до 0,5:

U= - ε _пои / ε = -[ u_y (ε_у / ε)+ 0,5 (ε_пл /ε)] (3.4)

Так как пластическая составляющая деформации имеет коэффи­циент поперечной деформации ε_пл = 0,5, то это означает, что изме­нения объема от пластических составляющих деформации не проис­ходит.

г Закон неизменяемости объема при пластической деформации может быть записан как εx пл + εy пл+ εz пл=0

в направлении координатных осей х, у, г. Упругие составляющие деформации вызывают изменение объема тела.

При неодноосном напряженном состоянии в общем случае в каждой точке тела имеются напряжения σ _х, σ _у, σz, τ _ху, τ _уг, τ _гх и деформации ε _х, ε _у ε _г, γ _ху, γ _уг, γ _гх. Важными характеристиками напряженного и деформированного состояния являются, σi —-интенсивность напряжений, εi—интенсив­ность деформаций:

Энергетическая теория пластичности принимает, что пластиче­ские деформации при сложнонапряженном состоянии возникают при σi = σ_т (σ_т — предел текучести). Это положение в целом хорошо подтверждается экспериментами. Из него, в частности, вытекают некоторые важные в практическом отношении следствия. При трехосном растяжении или сжатии отдельные компоненты могут заметно превосходить предел текучести металла, но при этом σi< σ_T и пластические деформации не возникнут. При двухосном напряженном состоянии, когда σ₁ = — σ₃, а σ₂ = 0, что соответ­ствует чистому сдвигу, пластические деформации начнутся при максимальном напряжении σ₁= σ_т√3< σ_т.

Для расчетов напряженного состояния за пределами упругих деформаций используют теории пластичности. Одно из основных положений теорий пластичности состоит в том, что для различных напряженных состояний конкретного металла принимается спра­ведливой одна и та же экспериментальная зависимость между напряжениями и деформациями.

Деформационная теория пластичности устанавливает единую связь между интенсивностью напряжений о_; и интенсивностью деформаций z_t независимо от схемы напряженного состояния. Эта связь может быть найдена для каждого конкретного металла из результатов испытаний на одноосное растяжение. При этом напря­женном состоянии согласно (3.8) получаем σ i = σ. Связь между ε_i и ε найдем с учетом ε₁ = ε и зависимости (3.4), из которой полу­чаем ε₂ = ε₃ = — μ' ε. Тогда согласно формуле (3.9) имеем

ε_I = (2/3)(l + μ')ε= ε - ε₀ = ε -(l-2 μ_упр)σ/(3E), (310)

где ε₀ = (ε₁ + ε ₂ + ε₃)/3 — средняя деформация, которая связана со средним напряжением σ ₀ = (σ₁ + σ₂ + σ ₃)/3 зависимостью σ ₀ = (1 — 2μ_упр) σ₀ /Е. Так как σ ₂ = σ₃ = 0. то σ ₀ = σ ₁/3 = σ/3.

Более точной является теория течения, которая устанавливает единую связь между интенсивностью напряжений σ_iи интегралом

∫dε_I; интенсивности приращений пластических деформаций неза­висимо от схемы напряженного состояния. Эта связь также может быть получена из результатов испытаний на одноосное растяже­ние. При одноосном растяжении σ₁= σ _х = σ. Величина dε_I может быть найдена из общей зависимости для многоосного нагружения:

где d ε _x........ dy_zx —приращения пластических деформаций на

бесконечно малом участке деформирования. При одноосном растя­жении dγ = 0, а согласно (3.5) dε_w = dεz. = - (½) dεx =

^{1 v} ' пл пл пл

=-(½)dε Тогда из (3.11) получаем dεy = dεx,a ∫dε =εx

пл 'пл ^лпл пл пл

На рис. 3.2, а показана типичная зависимость σ _i = f (εi),
а на рис. 3.2, б — зависимость σ _i = f(∫ dεi) для материала
с упрочнением. Для при­
ближенного аналитиче- а) б)
ского описания диа­
грамм растяжения, ког­да упругой деформацией
по сравнению с пласти­
ческой можно пренеб­
речь, используют зави­
симость σ _i =A x

Рис. 3.2. Диаграммы зависимости a_t — f (e,-) (a)

(б), используемые в теории

пластичности

εi — интенсивность пластических

где Аип — постоянные для конкретного материала;

деформаций.

Показатель степени п носит название показателя степени упроч­нения материала при пластической деформации; для углеродистых и низколегированных сталей в неупрочненном состоянии п = 0,25/0,3; для сталей высокой прочности п = 0,05 / 0,1. По­вышение прочности металла обычно сопровождается уменьшением п. Неупрочняемый, так называемый идеально упругопластический, материал имеет п = 0. Показатель степени п не является мерой пластичности металла, обнаруживаемой при разрушении. Однако в большинстве случаев общая закономерность состоит в том, что чем меньше п, тем меньше δ.

Различают плоское напряженное состояние и плоскую дефор­мацию. При плоском напряженном состоянии

σ _г = 0, а ε_г≠0, что соответствует работе тонкой пластины, на­груженной в плоскости пластины напряжениями σ _х и σ _у. Пластина изменяет свою толщину вследствие поперечной (пуассоновой) де­формации. При плоской деформации σ_я = 0, σ _г ≠0. Идеальные условия плоской деформации можно представить, если рассматривать пластину, помещенную между двумя абсолютно жесткими плитами, которые позволяют пластине деформироваться в плоскости, но полностью исключают как утолщение, так и уто­нение пластины. Это приведет к тому, что в местах, где пластина должна была бы утолщаться, появятся сжимающие напряжения, σ _г а в местах возможного утонения — растягивающие напряжения σ _г. В обоих случаях при плоской деформации σ _г= μ ( σ _х + σ _у).

Дата добавления: 2015-07-08