Формулы сокращенного умножения. Бином Ньютона.

Выражения, составленные из чисел и переменных, связанных действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с рациональным показателем, называются алгебраическими выражениями.

При выполнении преобразований алгебраических выражений используются формулы сокращенного умножения:

– квадрат суммы;

– квадрат разности;

– разность квадратов;

– куб суммы;

– куб разности;

– сумма кубов;

– разность кубов.

Формулы квадрата и куба суммы являются частными случаями формулы бинома Ньютона, которая служит для возведения в натуральную степень суммы двух слагаемых:

где – биномиальные коэффициенты.

Формула бинома Ньютона обладает следующими свойствами:

1) в разложении двучлена по формуле Ньютона содержится n+1 член;

2) сумма показателей степеней a и b в каждом члене равна n;

3) биномиальные коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, равны между собой;

4) сумма биномиальных коэффициентов разложения равна ;

Биномиальные коэффициенты можно вычислять, используя схему, которая называется треугольником Паскаля.

Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.

Найти (к+1) – й член разложения можно по формуле: .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Бином Ньютона. Стр 1.

Пример 1. Разложить выражение по формуле бинома Ньютона.

Решение. Разложение будет иметь вид:

Пример 2. Сумма биномиальных коэффициентов разложения равна 64. Определить слагаемое, не содержащее x.

Решение. По свойству 4) бинома Ньютона

Т.к n=3m, то m=2. Следовательно имеем разложение .

Слагаемое не содержит х в том случае, если степень х равна нулю. Воспользуемся формулой (к+1) – го члена разложения:

Составим уравнение для определения номера члена разложения: 6 – 3k = 0 k = 2.

Значит, .

Дата добавления: 2015-07-08