Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Бином Ньютона

Читайте также:
  1. А 2 Законы Ньютона 2012 год
  2. А 2 Законы Ньютона. 2012 год
  3. А2. Динамика. Законы Ньютона.
  4. Биография Исаака Ньютона
  5. Вторая интерполяционная формула Ньютона.
  6. Второй закон Ньютона

Теорема 12.5. (Бином Ньютона). Для натурального n справедлива формула

¨ Перемножим последовательно (a + b) n раз. Тогда получим сумму 2 n слагаемых вида d 1 d 2dn, где di (i = 1, 2,…, n) равно либо a, либо b. Разобьем все слагаемые на (n + 1) группу B 0, B 1,…, Bn, отнеся к Bk все те произведения, в которых b встречается множителем k раз, а a встречается (nk) раз. Число произведений в Bk равно, очевидно, (таким числом способов среди n множителей d 1 d 2dn можно выбрать k множителей, которые будут равны b), а каждое слагаемое из равно . Поэтому ¨

Числа называются биномиальными коэффициентами.

Поставим такой вопрос: сколькими способами можно разложить множество B, состоящее из n элементов, на сумму m подмножеств

B = A 1È A 2 È…È Am

так, чтобы | A 1 | = r 1, | A 2 | = r 2,..., | Am | = rm, где r 1, r 2,…, rm – заданные числа, ri ³ 0 и r 1+ r 2+…+ rm = n. При этом множества A 1, A 2,…, Am, не должны иметь общих элементов. Все описанные выше разбиения множества B на m подмножеств A 1, A 2,…, Am можно получить так: возьмем произвольное r 1-элементное подмножество A 1 множества B (это можно сделать способами); среди nr 1 оставшихся элементов возьмем r 2-элементное подмножество A 2 (это можно сделать способами) и т.д. Тогда общее число способов выбора множеств A 1, A 2,…, Am равно

 

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 12.6. Пусть r1, r2,…, rm – целые неотрицательные числа и r1+r2+…+rm = n. Число способов, которыми можно представить множество B из n элементов в виде суммы m множеств A1, A2,…, Am, число элементов в которых соответственно есть r1, r2,…, rm, равно

Числа называются полиномиальными коэффициентами.

Пример. Число различных перестановок, которые можно составить из n элементов, среди, которых имеется r 1 элементов первого типа, r 2 элементов второго типа,..., rm элементов m -го типа, равно . Так, из букв слова «топот» можно составить 30 всевозможных различных
5-буквенных слов (в том числе и бессмысленных).

Обобщение биномиальной формулы дает следующая теорема.

Теорема 12.7. (Полиномиальная теорема)

¨ Перемножим последовательно (a 1+ a 2+…+ ak) n раз. Тогда получим kn слагаемых вида d 1 d 2dn, где каждый множитель di равен или a 1, или a 2,..., или ak. Обозначим через B (r,…, rk) совокупность всех тех слагаемых, где a 1 встречается множителем r 1 раз, a 2r 2 раз,..., akrk раз. Согласно теореме 12.6, число таких слагаемых равно . Отсюда сразу следует утверждение теоремы. ¨

Пример. Какой коэффициент стоит при x 2 y 3 z 8 в разложении (x + y + z)13? Для применения полиномиальной теоремы положим rx = 2, ry = 3, и rz = 8. Тогда искомый коэффициент равен

 



 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 260 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Формула Л. Эйлера, 1758 г.| Елементи фірмового стилю – бланк, конверт і папка.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)